文档介绍：数列的概念
一、数列的概念
按一定次序排列的一列数叫做数列.
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限个或有限个孤立的点.
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.
二、数列的表示
若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.
如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做数列的递推公式.
注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
三、数列的分类
:有穷数列和无穷数列;
an 的增减性:递增、递减、常数、摆动数列;
|an| 是否有界:有界数列和无界数列.
四、数列的前 n 项和
Sn=a1+a2+…+an= ak;
n
k=1
an=
S1 (n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2).
五、数列的单调性
设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列{an} 在 D 内单调递增(或单调递减).
方法:作差、作商
六、重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);
an=a1….
an
an-1
a2
a1
a3
a2
典型例题
“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{an} 是等和数列, 且 a1=2, 公和为 5, 那么 a18 的值为, 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为.
{an} 的前 n 项和为 Sn, Sn= (对于所有n≥1), 且 a4=54, 则 a1 的数值为.
a1(3n-1)
2
3
2
n 为奇数时, Sn= n- ; n 为偶数时, Sn= n.
1
2
5
2
5
2
{an} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3,…); 数列{bn} 满足: b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3,…). 求数列{an}、{bn} 的通项公式.
an=2n-1
bn=2n-1+2
课堂练****P81 8
P84 三年模拟2 4
已知数列{an} 的通项 an=(n+1)( ) , 问是否存在正整数 M, 使得对任意正整数 n 都有 an≤aM ?
n
10
9
∴当 n<8 时, an+1>an, {an} 单调递增;
当 n>8 时, an+1<an, {an} 单调递减.
而 a8=a9, 即 a1<a2<…<a8=a9>a10>a11>…,
∴ a8 与 a9 是数列{an} 的最大项.
故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+ 恒成立.
解: ∵ an+1-an=(n+2)(