文档介绍：2-8 定积分
曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成,
求其面积 S .
1. 定积分的概念
矩形面积
梯形面积
解决步骤:
在区间[a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
(2)近似代替
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
(1) 分割
(3) 求和
(4) 取极限.
则曲边梯形面积
解(1) 分割
变力做功
在插入n个分点
设质量为m的物体沿直线运动。假定它所受的力可
以表示为它到初始点的距离s的函数f(s).求物体自s=a
到s=b外力所做的功W.
将闭区间[a,b]分成n个小区间:
小区间的长度
(2)近似代替
在每一个小区间上任取一点,把做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间上对质点所做的功的近似值为
(3) 求和
把各小区间上力f 所做的功的近似值加起来,即得到在区间上所做功的近似值,即
(4)取极限
令所有小区间的最大长度时,和式的极限即为变力在区间上对物体所做的功,即
定义
各小区间的度为:
并作
和式;
(称作积分和或黎曼和).
积分上限
积分下限
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述:
曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围
成的曲边梯形面积S等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积
分,即