《高等数学》(北大第二版.ppt

文档介绍：6-9 极值问题
1. 多元函数极值问题
则称函数在点处有极大(小)值;----极值
称点为极大(小)值点; ----极值点
定义设函数在区域内有定义, 是
的内点,若存在的一个邻域,使得对该邻域内任一点,都有
二元函数的极值图例
有极小值
有极大值
定理1 (极值的必要条件)
若函数在点处达到极值,且
存在, 则必有
证
特别地有
上式表明一元函数在取得极大值,
由一元函数
取得极值的必要条件,有
同理可证

定是极值点.
满足方程组的点为的稳定点.
定理2(极值存在的充分条件)
令
设函数
在点
的某个邻域内
有连续二阶偏导数,且
根据代数知识,
为简便起见,令
则
证
根据泰勒公式有
根据二阶偏导数连续的假定,
因此
一定不是极值.
可能是,也可能不是极值.
例3
求函数
解第一步求稳定点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步判别.
在点(1,0) 处
为极小值;
解方程组
的极值.
求二阶偏导数
在点(3,0) 处
不是极值;
在点(3,2) 处
为极大值.
在点(1,2) 处
不是极值;