文档介绍：和
我们知道求由
所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤:
(2)近似代替:
(4)取极限:
(3)求和:
分成n个小区间,
(1)分割: 把
设第 i 个小曲边梯形的面积为
则:
定积分的元素法
3-5 定积分的若干应用
(2)A对于区间[a,b]具有可加性,即整个曲边梯形的面积等于
所有小曲边梯形面积的和。
在上面的问题中,所求的量面积A有如下性质:
(1)A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量;
即:
A的精确值,
近似代替部分量
时,它们只相差一比
高阶的无穷小,因此和式
的极限就是
(3)以
(3)写出A的积分表达式,即:
求A的积分表达式的步骤可简化如下:
(1)确定积分变量x及积分区间[a,b];
以
作为
的近似值。
(2)在[a,b]上任取小区间
叫做面积元素,记为
即:
具体步骤是:
那么这个量就可以用积分来表示。
(3)写出 U 的积分表达式,即:
(1)根据具体问题,选取一个变量例如 x 为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];
(叫做积分元素)
(2)在[a,b]上任取小区间[x, x+ dx],求出 U 在这个小区间上的近似表达式
这种方法叫做定积分的元素法.
一般地,如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件:
(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;
(2)U对于区间[a,b]具有可加性;
的近似值可表示为
(3)部分量

定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线,
当折线段的最大
边长→0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限,
此极限为曲线弧 AB 的弧长,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
积分区间为
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
平面极坐标系:
o
A
p
(极点)
(极轴)
x
y
或
直角坐标系圆的方程:
极坐标系圆的方程:
直角坐标与极坐标的关系:
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
因此所求弧长
则得
弧长元素(弧微分) :
(自己验证)
例1 计算旋轮线
一拱
的弧长.
解