《高等数学》(北大第二版_)4-4泰勒公式的余项.ppt

文档介绍：定理 1 设函数f(x)在(a b)内有(n1)的阶导数,则对(a b) 中任意取定的一点x0及任意的x(a, b) 有
其中
(x 介于x0与x之间)
4-4 关于泰勒公式的余项
而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项
注意
在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为带皮亚诺(Peano) 余项的泰勒公式.
证
由柯西中值定理
故得到
即
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
如果在区间(a, b)内对于某个固定的n|f (n1)(x)|总不超过一个常数M则有估计式
可见当xx0时误差|Rn(x)|是比(xx0)n高阶的无穷小即 Rn(x)o[(xx0)n]
误差估计
则马克劳林为:
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式:
已知
补例计算无理数 e 的近似值, 使误差不超过
解:
令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立,
因此
的麦克劳林公式为
解
其误差
例1