文档介绍：第四章插值方法
(interpolation methods)
计算方法(力学系本科生)
§ 问题的提出
第四章插值方法
实际背景
§ 问题的提出
表4-1
…
…
实验和观察得到的一些离散数据点
需要用这些离散数据点给出简单的函数表达式来近似原来函数。
Remark: 函数的类型有多种选择,例如代数多项式、三角函数,有理函数等,相应的插值多项式叫代数插值,三角多项式插值,有理函数插值。最常用的类型是代数多项式。
§ 问题的提出
函数有明确表达式,但比较复杂,不易计算和使用,希望用简单函数近似原来函数,便于计算函数值和研究函数特性。
§ 问题的提出
拉格朗日插值的提法
已知离散数据(xi,yi),i=0,1,2,…,n,其中a=x0< x1 < x2 <…< xn =b,寻求一个次数尽可能低的多项式函数P(x),满足条件P(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
从几何上看,就是在通过给定的n+1个点(xi,yi),i=0,1,2,…,n,的所有多项式曲线,寻找出次数最低的一个,如图4-1所示。
§ 问题的提出
y
x
o
(x0,y0)
(xn,yn)
图4-1 有无数条曲线经过n+1个点
§ 问题的提出
定义:如果P(x)是满足
P(xi)=yi=f(xi),i=0,1,…,n,
的次数最低的代数多项式,并且用P(x)来近似函数f(x) ,则称P(x)是f(x)的拉格朗日插值多项式,x0,x1,…,xn称为插值节点,简称节点;节点所在区间[a,b]称为插值区间,条件P(xi)=yi ,称为插值条件, f(x)称为被插函数。
§ 问题的提出
【历史注记】插值法历史悠久。据考证,在公元六世纪时,我国刘焯(zhuo)已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时,Newton和Gregory(格雷格里)建立了等距节点上的一般插值公式,十八世纪时,Lagrange(拉格朗日)给出了更一般的非等距节点插值公式。
§ 问题的提出
(1) 寻找满足插值条件的分段多项式;
插值问题的进一步提法有:
(2) 在插值条件中附加某些节点上的导数值,寻找相应的多项式。
§ 问题的提出
本章主要学习内容
拉格朗日插值多项式存在性和唯一性;
拉格朗日插值多项式构造法;
误差估计(插值余项)。
拉格朗日插值多项式