文档介绍：材料力学
第五章弯曲应力
Stresses in Bending
,故正应力的合力不可能产生Q向分量。(即σ不能在面内合成Q)。同理,因为τ在截面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生绕此面内水平轴的合力矩M。
§5-1 引言 Introduction
由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两种分布内力的集度——剪应力τ(面内应力)和正应力σ(法向应力)。由理力知识我们知:
因此, 。
若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Pure Bending)。平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况。
和ch2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样,分析了杆弯曲变形的内力—Q,M后,还需进一步分析梁的应力分布和计算,才能解决工程中的强度计算等实际问题。
和前面一样,由内力→应力需通过对梁的变形几何,物理关系,静力平衡三方面综合研究。
由于: ,
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam
故我们先研究以M为主的
简单梁—纯弯曲梁(Pure Bending Beam):Q≡0的梁(或梁段)。例如:
另对应有:横力弯曲(shear bending ,
transverse bending):
梁内(或梁段内)Q≠0
平面纯弯曲== 平面弯曲+ 纯弯曲
纯弯曲的M作用在梁的纵向对称平面内(Oxy平面),对应:
平面横力弯曲== 平面弯曲+横力弯曲
现以平面纯弯曲梁(梁的平面假设成立的前提)为条件推导梁的正应力公式:
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam
③梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑比有关的(横向)拉伸与压缩的现象。
1 2
a b
dx
c d
1 2
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
变形特点:
①1-1与2-2变形后仍为直线,仍与变形后的轴线垂直。只是相对原来位置转动了一个角度。
②纵向直线(ab)和(cd)弯成圆弧线(曲线)。故凹面纤维(如弧ab)缩短而凸面纤维(如弧cd)伸长。
因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维为中性层(neutral surface)。中性层⊥纵向对称面(外力的作用面),故纤维的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为中性轴(neutral axis)
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
由以上的特点可抽象如下的假设:
①平面假设(Plane section assumption):
在纯弯曲时,变形前为平面的横截面。变形后仍为平面。
②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。
(即: ;s依横截面的高度y改变)
③各纵向纤维间没有挤压。
梁弯曲的平面假设:
梁在受力弯曲后,其原来的横截面仍为平面,它绕其上的中性轴旋转了一个角度,且仍垂直于梁变形后的轴线。
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam
y
在纯弯曲时由对称性和圣维南原理, 一般对各向同性均匀
连续材料梁均成立。此即梁的变形几何关系。
物理:将关系代入(a)式,即得平面弯曲梁的正应力随y的变化关系。如:
5-2-2,弯曲正应力的公式推导
几何: 如图取变形后的dx微段梁来研究,中性层上的弧长
cd段的纤维变形前长
变形后长(M为正时):
因此距中性层为y的一层纤维cd的线应变为:
式中r为中性层变形后的曲率半径(Radius of curvature), 1/ r为曲率(curvature)
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
物理: 对工程中常用的材料,我们可以假设:
由(c)式知道,s在横截面上成线性分布(对线弹性材料而言)
因(c)式中的r还不知道,中性轴位置(y值)也不知道,需由静力学关系求解。
静力学:(对平行力系有:)
注意到横截面上,
对指定截面为常数, 可提到面积分之外。
表示中心轴应通过横截面的形心。
(5-1)式为研究弯曲问题的一个基本公式。
代入(c)得:
式中M是需求应力之横截面上的弯矩;I是此横截面对中性轴的轴惯矩; y是需求应力处到中性轴的垂直坐标。
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导
(凸边受拉,凹边受压)
②式表明:曲率1/r(表示梁变形的程度) ∝M ;
1/r∝1/EI。
故轴线越弯曲; 轴线变形越小(越平缓) 。