文档介绍：第八章平面问题的复变函数解
知识点
双调和方程的复变函数表达形式双调和函数的复变函数形式
应力分量复变函数表达式位移分量的复变函数表达形式
应力分量的单值条件位移分量的单值条件
多连域的 K-M 函数无限大多连域中 K-M 函数的一般形式
无穷远应力与 K-M 函数保角变换和曲线坐标
位移分量的曲线坐标表达应力分量的曲线坐标表达式
保角变换公式与 K-M 函数利用孔口边界条件确定 K-M 函数
柯西积分确定 K-M 函数椭圆孔口的保角变换
孔口应力裂纹—短轴为零的椭圆
裂纹前缘应力分布切应力作用的裂纹前缘应力
一、内容介绍
通过直角坐标和极坐标系,可以求解一些弹性力学平面问题。但是,这些方
法只能用于某些边界比较特殊的平面问题,特别是对于多连域问题更显得无能为
力。
本章介绍复变函数解法,实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题,但应
用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数 K-M 函数的问题。求解分析步骤为:
1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式,就是用 K-M
函数表示;
2、探讨无限大多连域中,K-M 函数的表达形式,将其表示为级数形式;
3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆,使得问题的边界条件简化;
4、将边界条件转化为柯西积分,求解级数系数,从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程,请你学习附录 2 或者查阅有关参考资料。
二、重点
1、K-M 函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等;2、无限大多
连域的 K-M 函数形式;3、保角变换与曲线坐标;4、椭圆孔口与平面裂
纹问题。
§8. 1 应力函数的复变函数表示
学习思路:
弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程,问题求解的关键是建立满足边
界条件的双调和函数。对于复变函数解,重要的问题是将双调和函数表达为复变
1
函数形式。
本节首先将双调和方程表示为复变函数形式;然后通过积分用解析函数表示
双调和函数。学习时应该注意:应力函数为实函数,通过复变函数表达的双调和
函数也是实函数,因此应力函数虚部等于零。
上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和ψ(z)表示。
和ψ(z)称为克罗索夫-穆斯赫利什维利函数,简称 K-M 函数;或者称
为复位势函数。
学习要点:
1、双调和方程的复变函数表达形式;2、双调和函数的复变函数形式
1、双调和方程的复变函数表达形式
在弹性力学的复变函数求解中,应力函数用 U(x,y)表示, 有其它
定义。
设应力函数 U(x,y)为双调和函数,首先考虑变形协调方程的复变函数表
达形式。
对于复变函数 z =x+ i y,取其共轭,则=x- i y。因此 z 和均为 x,y 的函
数。复变函数 z 可以写作 z=ρ eiϕ,其共轭=ρ e-iϕ,因此 z 和又可以表示为坐
标ρ和ϕ的函数。
同理,x,y 也可以表示为 z 和的函数,有
因此,应力函数也可以表示为复变函数 z 和的函数,有
注意到
应力函数 U(x,y)对坐标 x,y 的导数也可以表示为对复变函数 z 和的求导运
算,有
2
将上式的后两式相加,可以得到调和方程的复变函数表达形式
双调和方程的复变函数表达式为
2、双调和函数的复变函数形式
对于应力函数 U(z)的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式
乘以 2,并对作积分,可得
对再作一次积分,可得
对 z 作一次积分,可得
对 z 再作积分一次,可得
应力函数 U(z)的复变函数表达式中,有四个待定函数。注意到应力函数为实函数,
因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的,即
3
或者
因此应力函数可以用两个待定函数表示为
或者
上述公式称为古尔萨(Goursat)公式。公式将双调和函数通过两个复变函数
和χ(z)表达。和χ(z)称为克罗索夫-穆斯赫利什维利函数,简称 K-M
函数,均为单值解析函数。
Re 为表示复变函数实部的符号。
§8. 2 应力分量的复变函数表示
学习思路:
应力函数已经通过 K-M 函数表示,但是这还不够,为了下一步的工作,本
节的工作是将应力分量表示为复变函数形式,即使用 K-M 函数表示应力分量。
这一工作的主要内容是写出 K-M 函数对直角坐标的偏导数,应该注意,本
章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。
本节引入复变函数
, 和