文档介绍：INTRODUCTIONINTRODUCTION
TheThe SchoolSchoolTOTOJiangnanJiangnan ofofROBOTICSROBOTICS MechanicalMechanical EngineeringEngineering
MechatronicsMechatronics
UniversityUniversity
((机械电子机械电子LiLi TingTing)) ResearchResearch GroupGroup
((李挺)李挺)
LiLi TingTing’ss ResearchResearch andand TeachingTeaching WebWeb ://liting.
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2009-2-20 机电研究室-李挺(http:// liting.) 1
机器人概论第四章操作臂的雅可比
第四章第四章
操作臂的雅可比操作臂的雅可比
((20042004版本)版本)
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机器人概论第四章操作臂的雅可比
第三章研究的是机器人操作臂的位移关系位移关系,建立
了操作臂的运动学方程(正、反解),建立了操作
空间与关节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上,进行速度分析速度分析,研
究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关
系-雅可比矩阵雅可比矩阵。
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机器人概论第四章操作臂的雅可比
§§ 雅可比矩阵的定义雅可比矩阵的定义
操作臂的运动方程
= qxx )( ()
对上式两边求导,得
= )( qqJx && ()
J(q)是6×n的偏导数矩阵,称为操作臂的雅可比矩阵,它的
第i 行第j 列元素为
∂ i qx )( ()
ij qJ )( = i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ,,2,1;6,,2,1, nj 。
∂q j
雅可比 J(q)J(q) 是从关节空间速度 q&向操作空间速度 x&映射的
线性变换。
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机器人概论第四章操作臂的雅可比
6 n ∂x
i JJJ q
)( xqxx & =⇒= j = )( qqJq && ⎡ 1211 M 1n ⎤⎡&1 ⎤
∑∑∂q
i==11j j ⎢ JJJ ⎥⎢ q ⎥
⎢ 2221 M 2n ⎥⎢&2 ⎥
)( 为× jiqJ 的矩阵
⎡v ⎤⎢ 3231 M JJJ 3n ⎥⎢ M ⎥
= ⎢⎥⎢⎥
∂x ⎢ω⎥ JJJ
qJ )( = i ⎣⎦⎢ 4241 M 4n ⎥⎢ M ⎥
ij ∂q ⎢⎥⎢⎥
j 5251 JJJ 5n q&n−1
⎢ M ⎥⎢⎥
JJJ q
ω⎣⎢ 6261 M 6n ⎦⎥⎣⎢&n ⎦⎥
⎡v ⎤ 1 ⎡δd⎤⎡d⎤
x& = ⎢⎥= lim ⎢⎥ D =⇒⎢⎥ lim &Δ= tx
⎣⎦ t→Δ 0 Δt ⎣⎦⎣δ⎦ t→Δ 0
= =Δ)()(lim dqqJtqqJD
t→Δ 0 &
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机器人概论第四章操作臂的雅可比
将平面2R机械手的运动学方程(下式)的两端分别对时间 t 求导,
得雅可比矩阵为
(x,y) θ1转动对Vx、Vy的贡献
l2
l θ
1 2 θ2转动对Vx、Vy的贡献
θ1
+= clclx 12211 ⎫⎡−−− slslsl 12212211 ⎤
⎬⇒ qJ )( = ⎢⎥
+= slsly 12211 ⎭⎣+ clclcl 12212211 ⎦
操作臂的奇异形位操作臂的奇异形位((singularsingular configurationconfiguration))
对于关节空间的某些形位q,操作臂的雅可比矩阵的秩减
少,这些形位称为操作臂的奇异形位。
))(det( = sllqJ 221
上例中,当θ2=0°或θ2=180 °时,机械手的雅可比行列式的秩减
少,因而处于奇异状态。
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机器人概论第四章操作臂的雅可比
如图所示,为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以1m/s的速度运
动,求相关的关节速度 T 。
q& = θθ&&