文档介绍：2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)
(1)
(2) 曲面在点的法线方程为
(3) 微分方程的通解为
(4) 已知方程组无解,则
(5) 设两个相互独立的事件和都不发生的概率为, 发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设是恒大于零的可导函数,且则当时,有( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设为在第一卦限中的部分,则有( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设级数收敛,则必收敛的级数为( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为( )
(A) 向量组可由向量组线性表示.
(B) 向量组可由向量组线性表示.
(C) 向量组与向量组等价.
(D) 矩阵与矩阵等价.
(5) 设二维随机变量服从二维正态分布,则随机变量与不相关的充分必要条件为( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
求
四、(本题满分6分)
设其中具有二阶连续偏导数,具有二阶连续导数,求
五、(本题满分6分)
计算曲线积分其中是以点为中心, 为半径的圆周,取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面, 都有
其中函数在内具有连续的一阶导数,且= 求.
七、(本题满分6分)
求幂级数的收敛区域,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为的球体,是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数在上连续,且试证:在内至少存在两个不同的点使
十、(本题满分6 分)
设矩阵的伴随矩阵且其中为4 阶单位矩阵,求矩阵.
十一、(本题满分8分)
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、. (1) 求与的关系式并写成矩阵形式:
(2) 验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;
(3) 当时,求
十二、(本题满分8分)
某流水生产线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相互独立,, 求的数学期望和方差.
十三、(本题满分8分)
设某种元件的使用寿命的概率密度为
其中为未知参数,又设是的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【详解】
解法1:用换元积分法:设,当时,,所以下限取;当时,,所以上限取.
所以
由于在区间,函数非负,则
解法2:由于曲线是以点为圆心,以1为半径的上半圆周,它与直线和所围图形的面积为圆面积的,故答案是
(2)【答案】
【详解】曲面方程在点的法矢量为:
令则有
所以曲面在点处的法线方程为: 即
(3)【答案】
【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程,属于型的微分方程.
【详解】令,:,
分离变量:
两端积分:
从而
因是大于零的任意常数,上式可写成;
记,,便得方程的通解,
即,其中是任意常数
对上式再积分,得:
所以原方程的通解为:
(4)【答案】
【详解】化增广矩阵为阶梯形,有
当a = −1时,系数矩阵的秩为2,而增广矩阵的秩为3,根据方程组解的判定,其系数矩阵与增广矩阵的秩不同,因此方程组无解.
当a = 3时,系数矩阵和增光矩阵的秩均为2,由方程组解的判定,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,而且小于未知量的个数,所以方程组有无穷多解.
(5)【答案】(由独立的定义:)
【详解】由题设,有
因为和相互独立,所以与,与也相互独立.
于是由有
即有,
可得,
从而
解得
二、选择题
(1)【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数. 题设中已知想到设函数为相除的形式.
【详解】
设,则
则在时单调递减,所以对,,即
得,为正确选项.
(2)【答案】C
【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有:
性质1:设在分块光滑曲面上连续,关于平面对称,则
其中.
性质2:设在分块光滑曲面上连续,关于平面对