文档介绍：数列的概念
【考点导读】
了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函数;
理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;
能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】
,则=。
分析:由a1=0,得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:
,若,,则该数列的通项 2n-1 。
,满足,则的通项
1, n=1,
,n≥2. (答案:)
, ,且,则____2__.
,则其通项.
【范例导析】
,则
(1)70是这个数列中的项吗?如果是,是第几项?
(2)写出这个数列的前5项,并作出前5项的图象;[来源:学科网]
(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有,是第几项?
分析:70是否是数列的项,只要通过解方程就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别,数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决,一样的是要注意定义域问题。
解:(1)由得:或
所以70是这个数列中的项,是第13项。
(2)这个数列的前5项是;(图象略)
(3)由函数的单调性:是减区间,是增区间,
所以当时,最小,即最小。
点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属,要注重函数与数列之间的联系,用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。
,点均在函数y=3x-2的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数。
分析:根据题目的条件利用与的关系: ,(要特别注意讨论n=1的情况)先求出数列的通项, 再利用裂项法对数列进行求和,从而解决第2问的恒成立问题。
解:(I)依题意得,即。
当n≥2时,;
当n=1时, 所以。
(II)由(I)得,
故=。
因此,使得﹤成立的m必须满足≤,即m≥10,
故满足要求的最小整数为10。
点评:本题两个小问中涉及的方法都是非常常规的,与的关系的转化和裂项法求和都要求大家掌握。
{a}满足,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,证明:是等差数列;
分析:本题第1问采用构造等比数列来求通项问题,第2问依然是构造问题。
解:(I)
是以为首项,2为公比的等比数列。
即
(II)
①
②;
②-①,得即③
∴④
③-④,得即是等差数列。
点评:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。
,若 a1,a2 是正整数,且,3,4,5,…,则称为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,,数列满足;n=1,2,3,…,判断当时, 与能否无限趋近于一个常数,如果存在,求出其常数,否则说明理由;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解:(Ⅰ),
(答案不惟一)
(Ⅱ)因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,
,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期