文档介绍：*
林亮
微分方程模型之
教学案例
例 1 火车启动
目录
例 2 细菌增长
例 4 交通黄灯
例 3 溶液浓度
例 5 作战模型
引言
1. W. ,(朱煜民、周宇虹译),微分方程模型,国防科技大学出版社,1998年
参考文献
2. 姜启源等,数学模型(第三版),高等教育出版社,2003年
引言
引言
如果有一个实际问题,要找一个量 y ,与另一个量 t(时间或其他变量)的关系,这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率,而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以确定,那么这样的问题通常可以通过微分方程来解决。
利用微分方程解决这样的问题的一般步骤如下: (分为六步)
注意到实际问题中有与数学中“导数”有关的常用词,如
引言
“速度”、“速率”(运动学、化学反应中);
“边际的”(经济学中);
“增长”(生物学、金融、经济等中);
“衰变”(放射性问题中);
以及与“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等有关词语,都可能是微分方程的问题。
第一步:
第二步:梳理出实际问题中所涉及的各种量,使用一致的物理单位。
引言
第三步:梳理出与结果有关的并且有着函数关系(待求)的两个量作为要求的函数的自变量 t 与因变量 y ,而与变化率有关的量即是待求函数的导数。
第四步:了解问题中所涉及的原则或物理定律。
引言
第五步:依据第二、第三、第四步建立微分方程。还有已知的对应某个 t 的 y 的值(可能还有 y 的导数的值)就是求解微分方程所需要的初始值。
第六步:求微分方程的解并给出问题的答案。
下面我们从易到难给出微分方程模型之应用案例
例1 火车启动
例 1:火车启动
题目:一列火车从静止开始启动,均匀地加速,五分钟时速度达到 300 千米。问:这段时间内该火车行进了多少路程?
解这个问题相对比较简单,问题与“加速”、“速度”有关,所以与导数有关;
例1 火车启动
涉及的量为:
“时间”(小时),“路程”(千米),“速度”(千米/小时),“加速度”(常数 a );
有(待定)函数关系的两个量定为:
路程 y 时间 t ;
涉及的原则或物理定律:
导数=速度,二阶导数=加速度;
例1 火车启动
建立微分方程:
通解为:
初始值:
代入(1)求得:
因此:
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