文档介绍：化二次型为标准形
只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形(或法式).
例如
都为二次型;
为二次型的标准形.
对于二次型, 我们讨论的基本问题是: 寻求可逆的线性变换x=Cy, 将二次型化为标准形.
或:对于实对称矩阵A,寻求可逆阵C,使得
为对角阵.
设
说明
如何找矩阵C?
一、正交变换法
已知结论:
对任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q,
使得
其中
为矩阵A的n个特征值.
因为Q为正交阵,所以
于是
由此得到:
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
例1: 将二次型
通过正交变换x=Py化成标准形.
f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3
解: 1. 写出对应的二次型矩阵.
2. 求A的特征值.
= (–18)2 (–9)
从而得A的特征值: 1=9, 2=3=18.
3. 求特征向量.
将1=9代入(A–E)x=0得基础解系: 1=(1, 2, 2)T.
将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系:
2=(–2, 1, 0)T, 3=(–2, 0, 1)T.
将特征向量正交化:
得正交向量组
取1 = 1, 2 = 2,
1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(–2, 1, 0)T, 2 =(–2/5, –4/5, 1)T.
将正交向量组单位化, 令
得
4. 作正交变换
令
于是所求正交变换为:
且有
f = 9y12 + 18y22 +18y32 .
(1)几何意义:在自然基坐标系下的
二次曲面
说明:
17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 = 1
在另一直角坐标系
下的方程为
9y12 + 18y22 +18y32 = 1 .
它表示一个椭球面,其主轴与新坐标系的坐标轴重合,
主轴长度分别为
为A的特征值,
而变换的矩阵正是由基到基
的过渡矩阵。