文档介绍：抽象函数的性质及其金典例题
函数的周期性:
1、定义在x∈R上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x-a)(或f(x-2a)=f(x))(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
2、若y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数;
3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数;
4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b),则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数;
5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a;
6、定义在x∈R上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数;
7、若在x∈R恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a的周期函数;
8、若在x∈R恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a的周期函数。
函数图像的对称性:
1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线对称;
2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;
3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图像关于点成中心对称图形;
4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0;
5、形如的图像是双曲线,由常数分离法
知:对称中心是点;
6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线对称;
7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a对称。
含有函数记号“”有关问题解法
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
一、求表达式:
:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1:已知,求.
解:设,则∴∴
:在已知的条件下,把并凑成以表示的代数式,,还能进一步复习代换法。
例2:已知,求
解:∵又∵
∴,(||≥1)
:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3. 已知二次实函数,且+2+4,求.
解:设=,则
=比较系数得∴
:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
=为奇函数,当>0时,,求
解:∵为奇函数,∴的定义域关于原点对称,故先求<0时的表达式。∵->0,∴,
∵为奇函数,∴∴当<0时∴
,为奇函数,且有+, 求,.
解:∵为偶函数,为奇函数,∴,,
不妨用-代换+= ………①中的,
∴即-……②
显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出
:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出的表达式
例6:设的定义域为自然数集,且满足条件,及=1,求
解:∵的定义域为N,取=1,则有
∵=1,∴=+2,……
以上各式相加,有=1+2+3+……+=∴
二、利用函数性质,解的有关问题
:
例7 已知,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。
证明:令=0, 则已知等式变为……①
在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
例8:奇函数在定义域(-1,1)内递减,求满足的实数的取值范围。
解:由得,∵为函数,∴
又∵在(-1,1)内递减,∴
例9:如果=对任意的有,比较的大小
解:对任意有∴=2为抛物线=的对称轴
又∵其开口向上∴(2)最小,(1)=(3)∵在[2,+∞)上,为增函数
∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调