文档介绍：关节五
几何计算方法与作用的归纳
当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时,“几何计算”的意义和作用,就被大大地加强了。
第一,几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系,在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示,无疑地就会涉及到几何量的计算;
第二,当我们注重研究图形的动点问题,图形的变换及运动问题,在坐标系里研究图形的一些问题时,就愈是不可避免地要借助几何量的计算;
第三,那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题,更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此,《课标》理念下的几何学习,几何计算的份量加大了,层次提高了。
在本关节,我们先将几何计算的基本方法加以归纳,为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法
几何计算的两种主要方法是:
Ⅰ、借助于解直角三角形;
Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算
(1)要善于依题情恰当地构造直角三角形
例1 如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为,则它们重叠(如图中阴影)部分的面积是( )
A
B
C
D
H
(1`)
(1)
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】将原问题抽象为图(1`),在菱形ABCD中,,顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1,求菱形ABCD的面积。
为此,作交CD的延长线于点H,则有
其中
解:应选A。
例2 如图,在中,。将绕点C逆时针旋转30°得到,
与AB相交于点D。求BD的长。
A
C
B
D
D
【观察与思考】注意到若作于点G,如图(1`)则 (1)
可得中,DG=BG,同时在,而CB=1,
从而可构造关于BD的方程,求得其值。
解:如图(1`),作于点G,设BD=,
A
C
B
D
D
G
中,
在中,, (1`)
。
即解得。
的长为。
【说明】通过以上两例可以看出,凡涉及到几何图形中量的计算时,应当首先考虑借助于解直角三角形,而在这许多情况下,就需要恰当地构造出相应的直角三角形。
(2)在图形较为复杂的情况下,要善于恰当地将相关数量转化到某直角三角形
A
B
E
D
C
F
G
例3 如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,连结CE,若于点F,且AF平分求的值。
【观察与思考】首先,在中,剩下的任务
就是去求CF和AC之间的数量关系,如去求出CF用AC表示的代数
式。为此,去研究相应的条件:
①由ABCD为等腰梯形,BECD为平行四边形(BE//CD,BE=CD),可知:AC=BD=EC;
②由知且AF平分得是等腰三角形,设AF交BD于点G,则
③由BG//EC,知∽,
如此一来,
当然就有。
例4 如图,把一副三角板如图(1)放置,其中,斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图(2), 这时AB与相交于点,与AB相交于点F。
(1)求的度数;
(2)求线段的长;
A
C
B
F
O
A
C
B
D
E
(3)若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到,这时点B在的内部,外部,还是边上?证明你的判断。
(1) (2)
【观察与思考】对于(1),