文档介绍：关节十五
由函数图象衍生出的问题
图象本是函数关系的一种表达方式,现以它为主背景,可以衍生出如下的两类问题:
Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题,这类问题解决的基本过程是:“图象→对应的函数关系→实际问题”;
Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合,这类问题解决的基本方向是:将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。
一、由图象研究对应的实际问题
例1 如图(1),三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同。正常水位时,大孔水面宽度米,顶点M距水面6米(即米),小孔顶点N距水面米(即米)。当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度。
【观察与思考】读图,并和实际背景对照,可知:
①应先求出大孔对应的抛物线的解析式;
②求出F点的横坐标;

解:设大孔对应的抛物线解析式为,
A
B
E
M
F
N
正常水位
C
因为点在该抛物线上,即
解得
令,解得,米。
答;当水位不涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽为10米。
例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池,将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池,甲,乙两个蓄水池中的水的深度(米)与注水时间(小时)之间的函数图象如图(2)的所示,结合图象回答下列问题:
3
4
2
1
甲
乙
(1)求注水多长时间甲,乙两个蓄水池水深度相同;
(2)求注水多长时间甲,乙两个蓄水量相同;
【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式,
再借两函数关系式去解决(1),(2)两个问题。
解:设。把(0,2)和(3,0)代入,解得
。
设。把(0,1)和(3,4)代入,解得,
(1)根据题意,由力间
解得。
所以注水小时,甲,乙两蓄水池中水的深度相同。
(2)设甲蓄水池的底面积为,乙蓄水池的底面积为,注水小时甲,乙两个蓄水池的蓄水量相同。
先由两池水量的变化情况求出两池的底面积;
,即。,即。
再根据题意,得
,即。
解得。注水1小时甲,乙两个蓄水池的蓄水量相同。
例3 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件,该机器运行过程分为加油过程和加工过程:加工过程中,当油箱中油量为10升时,机器自动停止加工进入加油过程,将油箱加满后继续加工,如此往复,已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完。图(1) 是油箱中油量(升)与机器运行时间(分)之间的函数图象,根据图象回答下列问题:
(分)
(升)
10
30
80
100
(1)求在第一加工过程中,油箱中油量(升)与机器运行时间(分)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(2)机器运行多少分钟时,第一个加工过程停止?
(3)加工完这批工件,机器油耗多少升?
【观察与思考】先读图象:①折线第一段表示:前10分钟为加油过程,
匀速地由10升加到100升,②折线第二段表示加工过程,其间油量
匀速减少,加工20分钟油量由100升减小到80升。
问题(1)是求折线第二段对应的函数解析式,可用待定系数法。
问题(2)相当于求(1)中的函数在函数值等于10时对应的的值;
问题(3)由题意和(2)知