文档介绍：关节十一
“存在性”问题和“最值”问题的解决方法
一、关于存在性问题
1、什么样的情况会引发出“存在性问题?
从一个整体情况或一个变化过程中,判断满足某种特殊要求的情况是否存在,并在存在时将其寻找出来,这样的问题就是“存在性”问题。
如:
日一二三四五六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
题1 如某月的月历,像图中那样用方框框住4个数字,是否存在以下情况:使框住的4个数字和为100?为90?若存在,请写出这4个数字,若不存在,请说明理由。
题 2 如图(1),四边形是边长为6的正方形,动点P从
A点P出发,以每秒1个单位的速度沿边向点运动,动点
BC
CD
DA
从点出发,以每秒3个单位的速度沿边
运动,两点同时出发,点P到达处
时两点运动停止,记的运动时间为。
(1)是否存在时刻,使线段将正方形的周长分为相等的两部分?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
A
B
C
A
D
B
C
Q
P
(2)是否存在时刻,,使线段将正方形的面积分为1:2两部分,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
(1) (2)

题 3 如图(2),在中,,在斜边上是否存在点,使以为圆心,以为半径的圆,恰好与相切?
若存在,请作出⊙(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由。
像以上三个题目都属于“存在性”问题。
2、“存在性”问题的基本类型和解决方法
“存在性”问题大体可分为两类:
Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题(即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求);
Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题(即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求)。
(1)由数量关系确定的“存在性”问题
这种类型的“存在性”问题,解决的方法主要是借助于构造方程。
例1 (见前面的题1)
【观察与思考】第一,框住的4个数字,若设左上角的数字为,则这4个数字的和为。本题就是判断图中有无数字,使和分别为100,90?有这样的数字时,求出的值。
第二,落实的办法就是根据和为100,90分别构造关于的方程,判断相应的方程是否有解,有解时求出解来。
解:设框住的4个数为
则它们的和为:,
令,解得。
21
22
28
29
即当框住的4个数字为时,它们的和恰为100。
又,令,解得,这样的不在月历中。
所以,不存在框住的4个数字的和为90的情况。
【说明】在这里,把方框中的第一个数字看作一个变量(范围是1—22),框内的4个数字之和是的函数,而“和为100,为90”就是对函数值的特定要求,从而变成了求特定函数值所对应的自变量的值,那当然就是解方程。
例2 (见前面的题2)
A
D
B
C
Q
P
A
D
B
C
Q
P
A
D
B
C
Q
P
(1`) (1``) (1```)
【观察与思考】容易知道,按点在上,上,上,和的运动全过程可分为三段:
①当时,如图(1`),②当时,如图(1``),③当时,如图(1```)。应分类考虑将正方形分成部分的周长与面积的情况。
解:(1)①当时,点在AB上,点在上,正方形的周长被分成的两部分中,顶点B所在部分显然小于(正方形的周长),而另一部分大于(正方形的周长)。因此,不可能有二者相等的时刻;
②当时,点在上,顶点B所在的部分的“周长”为,另一部分的“周长”为。
令,解得。
(或令12,也得同样的结果)。
③当时,点在AB上,点在AD上,分成的两部分中,含顶点B的部分的“周长”显然
大于(的周长),因此不存在二者相等的时刻。
所以,存在,使将的周长分为相等的两部分(其实,此时和分别为边AB,的中点)。
(2)①当时,,
,
令,解得(与矛盾,舍去)。
②当时,令或
,分别解得(矛盾,舍去),。
③当时,令,解得(舍去),(舍去)。
所以,存在时刻和,使得把正方形的面积分为1:2的两部分。
【说明】在,的运动过程中,正方形的周长与面积总是被分为两部分,且两部分的值在运动中变化着,现对变化着的值提出特定的要求,以确定这种特殊情况是否真的出现在运动过程之中,这正是“存在性”问题的典型特征,而构造出相应的方程来求解。也真是普遍适用的方法。
例3 如图(3), 在直角梯形中,。动点从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动,点,分别从点D,C同时出发,设运动时间为(秒)。
A
D
P
B
C
Q
(1)是否存在时刻,使得?若存在,求出