文档介绍：《线性代数A》强化训练题一解答
一、填充题
1. 正; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.

二、是非题
1. 2. 3. 4. 5.

三、设矩阵矩阵满足其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 求
解: 由于且易知用右乘矩阵方程的两端, 有
即所以
又因为故
四、证明矩阵可逆, 并求其逆矩阵.
解: 对做如下分块
其中
因因此可逆.
的逆矩阵分别为
所以逆阵为
五、设其中为阶可逆矩阵, 求
解: 因为
利用分块矩阵的方幂
易知
从而
则由有
因此
故
六、设矩阵求矩阵的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.
解: 首先, 对作行初等变换化为行最简形矩阵:
知秩因此列向量组的极大无关组含有个向量.
而三个非零行的非零首元在列, 也即为一个极大无关组. 由的行最简形矩阵, 有

七、取何值时, 方程组
(1) 有惟一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解, 并求解.
解: 方程组的系数矩阵和增广矩阵为
.
(1) 当且时,
所以方程组有惟一解
(2) 当时,

所以方程组无解.
(3) 当时
方程组有无穷解.
得同解方程组
所以得通解为
八、试求一个正交变换把下列二次型化为标准形
解:
得
时,
时,
时,
作正交变换则
九、设是阶矩阵的两个不同的特征值, 分别是的属于的特征向量, 证明不是的特征向量.
证:假设是的属于特征值的特征向量, 则
又
于是有
由于所以与线性无关, 故从而, 与矛盾.
故不是的特征向量.
十、设且向量组线性无关, 证明向量组线性无关.
证:设将的表示式代入, 即
因为线性无关, 故有
显然, 故线性无关.