文档介绍：《线性代数D》强化训练题三解答
一、填空题
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.
二、单项选择题
1. D; 2. C; 3. A; 4. D; 5. C
三、计算题
1. 设求元素的代数余子式的值.
解:元素的代数余子式的值为

元素的代数余子式的值为

2. 计算行列式的值
解:第列乘以加到第列, 第列乘以加到第列, , 第列乘以加到第列, 得

3. 设
求(1) (2) (3) (4) 满足的矩阵
解: (1)
(2)
(3)
(4)
4. 问为何值时, 方程组有解, 无解, 有解时求全部解.
解:

当且时, 无解;
当时,
,
有解, 通解
当时,
,
有解, 通解
四、简答题
1. 设均为阶对称阵, 问是否也是对称阵? 你能否给出也是对称阵的充要条件.
解: 不一定. 充要条件时
2. 问空间中的平面是否构成中的子空间? 若是, 求该子空间的基与维数, 若不是, 则说出理由.
解: 是. 基为
五、已知二次型可通过正交变换化为标准形
1. 写出二次型的矩阵和标准形的矩阵
2. 由与的关系求的特征值和参数的值;
3. 求正交变换矩阵
解: 1.
2. 因为与相似, 所以与的行列式相等且有相同的特征值, 故
即所以
且由于的特征值为所以的特征值也为
3.

所以正交变换矩阵
六、证明题
1. 已知是线性空间的一个基, 设
,
证明也是的一个基, 并求基到基的过渡矩阵.
证:
因为所以线性无关, 则也是的一个基. 显然过渡矩阵就是
2. 设阶非零矩阵满足且
(1) 证明: 的特征值不是就是
(2) 证明: 属于的特征向量就是属于的特征向量.
(3) 分别是属于的特征向量, 证明线性无关.
证: (1) 因为又因为
所以即由所以则或
(2) 设属于的特征向量为, 则
左乘得而
所以则也是属于的特征向量.
(3) 设左乘得
因为由(2)知所以
而所以此时又所以
因此线性无关.