判断函数单调性的常见方法.doc

文档介绍：葿判断函数单调性的常见方法袆函数单调性的定义:蚅一般的,设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A,如对于区间内任意两个值X1、X2,肁1)、当X1<X2时,都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数,I称为函数的单调增区间;罿2)、当X1>X2时,都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为函数的单调减区间。薆螇常见方法:蒃Ⅰ、定义法:薂定义域判断函数单调性的步骤莇取值:薄在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2,可设X1<X2;薂作差(或商)变形:肁作差f(X1)-f(X2),并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形;肇定号:薅确定差f(X1)-f(X2)的符号;羄判断:蒁根据定义得出结论。袈例:已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性并证明蚇解:任取x1、x2∈(-∞,+∞),x1<x2,则肂f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)-(x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)袀=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)薈=(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]蒄∵x1、x2∈(-∞,+∞),x1<x2,蒅∴x1-x2<0,(x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0荿故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)莈∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增蒆薃Ⅱ、直接法(一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出):蝿函数y=-f(x)的单调性相反聿函数y=f(x)恒为正或恒为负时,函数y=f(x)的单调性相反薇在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数蚁例:判断函数y=-x+1+1/x在(0,+∞)内的单调性蒂解:设y1=-x+1,y2=1/x,蝿∵y1在(0,+∞)上↓,y2在(0,+∞)上↓,莄∴y=-x+1+1/x在(0,+∞)内↓肄袂Ⅲ、图像法:薀说明:⑴单调区间是定义域的子集蒆⑵定义x1、x2的任意性膂⑶代数:自变量与函数值同大或同小→单调增函数芁自变量与函数相对→单调减函数肆Ⅳ、分析法:蒇复合函数单调性判断:蒅y=f(u)螀增螆增芄减蚃减膀u=g(x)薇增莆减螁增蕿减芇y=f(x)莇增肄减羈减增例:判断y=1/(-2x-3)的单调性解:令u=-2x-3,∵y=1/u在(0,+∞)↓,在(-∞,0)↑,u(x)在(-∞,+∞)↓∴y=1/(-2x-3)在(0,+∞)↑,在(-∞,0)↓这种方法概括为“同减异增”判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法……做题时要结合具体题意,找出适当的方法解题。以下无正文仅供个人用于学****研究;不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;、研究;不得用于商业用途。NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;