文档介绍：一、知识回顾:
一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点。
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0),x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.
1、函数极值的定义
1、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量(x)的值,极值指的是函数值(y)。
注意
2、极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,
是极大值点, 是极小值点,而
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,′(x)在方程根左右的值的符号,求出极大值和极小值.
2、求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(x为极值点.)
注意:
如果函数f(x)在x0处取得极值,
就意味着
x
X2
o
a
X3
b
x1
y
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.
发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值是_______。
f(x1)、f(x3)
f(x2)
f(b)
f(x3)
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?
函数的最大值与最小值
二、新课讲授
1、最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值;
最值是相对函数定义域整体而言的.
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.
, 最值唯一;极值不唯一;
注意:
.
2、如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;
(2)利用函数的图象;
(3)利用函数的导数;
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
如:求y=(x-2)2+3在区间[1,3]上的最值.
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值;
(极大值或极小值)
3、利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:
注意:若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值),则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值).