文档介绍：§1 二重积分概念
二重积分是定积分在平面上的推广, 不
同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的
长度容易计算, 而二重积分定义在平面区
域上, 其面积的计算要复杂得多.
一、二重积分的定义及其存在性
二、二重积分的性质
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一、二重积分的定义及其存在性
二重积分的几何背景是

为定义在可求
面积的有界闭域 D上的

面
为顶, D 为
底的柱体(图21-2) 的体积 V.
图 21-2
采用类似于求曲边梯形面积的方法.
(1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域
D 分成 n 个小区域
( 称 T 为区域 D
的一个分割). 以
表示小区域
的面积. 这个直
线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以
为底的小
曲顶柱体
(2) 近似求和: 由于
在 D 上连续, 故当每个
相差无几, 因而可在
上任取一点
用以
的直径都很小时,
在
上各点的函数值
i
s
为高,
为底
的小平顶柱体的体积
作为
的
体积
的近似值(如
图21-3), 即
把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体
体积 V 的近似值
(3) 取极限: 当直线网 T 的网眼越来越细密, 即分割
T 的细度
(
为
的直径)趋于零时, 就
有
这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 如求非
均匀平面的质量、重心、转动惯量等等. 这些都是
所要讨论的二重积分的实际物理背景.
上面叙述的问题都可归为以下数学问题.
可求面积的小区域
以
表示小区域
的面积, 这些小区域构成 D 的
为分割 T 的细度. 在每个
上任取一点
作
一个分割 T, 以
表示小区域
的直径, 称
设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭域,
为
定义在 D上的函数. 用任意的曲线网把 D 分成 n
个
称它为函数
在 D 上属于分割 T 的一个积分和.
定义2 设
是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数
总存在某个正数
使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度
时, 属于 T 的所有积分和都有
和式
则称
在 D 上可积, 数 J 称为函数
在
D 上二重积分, 记作
其中
称为二重积分的被积函数, x, y 称为积
分变量, D 称为积分区域.
当
时, 二重积分
在几何上
就表示以
为曲顶, D 为底的曲顶柱体的
体积. 当
时, 二重积分
的值
就等于积分区域 D 的面积.
注1 由二重积分定义知道, 若
在区域 D 上
可积, 则与定积分情形一样, 对任何分割 T, 只要当
时, (4) 式都成立. 因此为方便计算起见, 常
选取一些特殊的分割方法, 如选用平行于坐标轴的
直线网来分割 D, 则每一小网眼区域的
的面积
此时通常把
记作
注2 如定积分那样类似地可证明: 函数
在
可求面积的 D上可积的必要条件是它在 D上有界.
设函数
在 D 上有界, T 为 D 的一个分割, 它
把 D 分成 n 个可求面积的小区域
令