文档介绍：
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
引例求曲顶柱体的体积
一、二重积分的概念
特点:平顶.
平顶柱体体积=底面积×
高
曲顶柱体体积=?
特点:曲顶.
曲顶柱体
若有一个柱体,它的底
是Oxy平面上的闭区域D,它
的侧面是以D的边界曲线为准线且母线平行于z轴的柱面,
它的顶是曲面z=f(x,y),设f(x,y)≥0,为D上的连续函数.
我们称这个柱体为曲顶柱体.
现在来求这个曲顶柱体的体积.
求曲顶柱体的体积采用
“分割、近似代替并求和、取极限”的方法,如下图演示:
分、
匀、合、
精
分三步解决这个问题:
1、分割区域D用两组曲线任意分割成n个小块:
其中任意两小块和
除边界外

示第i个小区域,也表
示第i个小区域的面积.
2、近似代替并求和记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值),在中任取一点,
以为高而底为的平顶柱体体积为
此为小曲顶柱体体积的近似值,故曲顶柱体的近似值可以取为
3、取极限若记,则定义

定义设函数z=f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.
将区域D任意分割成n个小区域
并以表示第i个小区域,也表示第i个小区域的面积.
在上任取一点,求和式
若当各个小区域的直径中的最大值趋于零时, 极限
分、
匀、合
精
存在,则称此极限值为函数f(x,y)
即
这时也称函数f (x,y) 在D上可积.
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
.
òò
D
d
y
x
f
s
)
,
(
i
i
n
i
i
f
s
h
x
l
D
=
å
=
®
)
,
(
lim
1
0
说明:
(1)二重积分不依赖于区域D的分法,也不依赖于点
的取法.
二重积分的几何意义:
(1) 若在D上f(x,y)≥0,
则表示以区域D
为底,以f(x,y)为曲顶的曲
顶柱体的体积.
(2) 若在D上f(x,y)≤0,
则上述曲顶柱体在Oxy面
的下方,二重积分
的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些
子区域上为负的,则表示在这些子区域上曲顶
柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减
去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
例1 利用二重积分的几何意义,求
解被积函数f(x,y)=h>0, 表示以h为高、以x=2、x=5、y=4与x轴围成图形为底面的柱体的体积:
其中D表示: .