文档介绍：B样条曲线和曲面
在我们工程中应用的拟合曲线,一般
地说可以分为两种类型:一种是最终
生成的曲线通过所有的给定型值点,
比如抛物样条曲线和三次参数样条曲
线等,这样的曲线适用于插值放样;
另一种曲线是,它的最终结果并不一
定通过给定的型值点,而只是比较好
地接近这些点,这类曲线(或曲面)
比较适合于外形设计。
因为在外形设计中(比如汽车、船舶),
初始给出的数据点往往并不精确;并
且有的地方在外观上考虑是主要的,
因为不是功能的要求,所以为了美观
而宁可放弃个别数据点。因此不须最
终生成的曲线都通过这些数据点。
另一方面,考虑到在进行外形设计时
应易于实时局部修改,反映直观,以
便于设计者交互操作。第一类曲线在
这方面就不能适应。
法国的 Bezier 为此提出了一种新的
参数曲线表示方法,因此称为Bezier
曲线。后来又经过 Gordon、Forrest
和 Riesenfeld等人的拓广、发展,
提出了B样条曲线。
这两种曲线都因能较好地适用于
外形设计的特殊要求而获得了广泛的
应用。
一、Bezier曲线
Bezier曲线的形状是通过一组多边折
线(特征多边形)的各顶点唯一地定
义出来的。在这组顶点中:
(1) 只有第一个顶点和最后一个顶点
在曲线上;
(2) 其余的顶点则用于定义曲线的导
数、阶次和形状;
(3) 第一条边和最后一条边则表示了
曲线在两端点处的切线方向。

Bezier曲线是由多项式混合函数推导
出来的,通常 n+1 个顶点定义一个 n
次多项式。其数学表达式为:

(0 ≤ t ≤ 1)
式中:Pi:为各顶点的位置向量
Bi,n(t):为伯恩斯坦基函数
伯恩斯坦基函数的表达式为:

假如规定:0=1,0!=1,则
t=0: i=0 ,Bi,n(t)=1
i0 ,Bi,n(t)=0
P(0)=P0
t=1: i=n ,Bi,n(t)=1
in ,Bi,n(t)=0
P(1)=Pn
所以说,“只有第一个顶点和最后一个
顶点在曲线上”。即
Bezier曲线只通过多边折线的起点
和终点。
下面我们通过对基函数求导,来分析
两端切矢的情况。

得: