文档介绍：函数的单调性与导数
-----博罗中学高中部数学科组齐晓芳
教学目的:
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教学重点:利用导数判断函数单调性
教学难点:利用导数判断函数单调性
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
  以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
教学过程:
一、复习引入:
1. 常见函数的导数公式:
; ; ;
; ; ;
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法则2 ,
法则3
二、讲解新课:
1. 函数的导数与函数的单调性的关系:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)
可以看到:
y=f(x)=x2-4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2,+∞)
增函数
正
>0
(-∞,2)
减函数
负
<0
在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0时,函数y=f(x) 在区间(2,+∞)内为增函数;在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
:
①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间.
三、讲解范例:
例1确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数, 哪个区间内是减函数.
解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2.
令2x-2>0,解得x>1.
∴当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
令2x-2<0,解得x<1.
∴当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例2确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数, 哪个区间内是减函数.
解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
令6x2-12x<0,解得0<x<2.
∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例3证明函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
证法一:(用以前学的方法证)任取两个数x1,x2∈(0,+∞)设x1<x2.
f(x1)-f(x2)=
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<