文档介绍：中学数学通用教案设计精编之三
复数的模与辐角主值的复习深化教案设计
复数的模与辐角的主值,是复数的重要概念,对于理解复数的几何意义
和进行运算都起着重要的作用。尽管学生有所认识,但是由于综合运用各科
知识的能力较差,所以解题容易出错。本设计以一题多解的形式,探讨一下
怎样深化复数的模与辐角主值的复习教学。
【题目】设复数θθ,(≤θ<π,θ≠π)、,
, 分别对应复平面上的点、, 为坐标原点,∠α(≤α<π),
求角α的大小。
一、应用三角公式化复数为三角式
解法一(分析:因为复数、分别对应复平面上的点, 所以∠
可以用与的差来表示。关键是把化为三角式并且判断
与的大小。)
π
∵z = cosθ+ isinθ,(0≤θ<π,θ≠) ①
1 2
∴( θθ)
æ πö æ πö
= 1- sinθ+ icosθ= 1+ cosç + θ÷ + i sinç + θ÷
è 2 ø è 2 ø
æ πθö é æ πθö æ πθöù
= 2cosç + ÷ êcosç + ÷ + isinç + ÷ú ②
è 4 2 ø ë è 4 2 ø è 4 2 øû
πππθπæ πθö
1°,0≤θ< 时, ≤+ < ,cosç + ÷>0,这
2 4 4 2 2 è 4 2 ø
πθ
时,②式是z 的三角形式,argz = + ,并且argz >argz ,
2 2 4 2 2 1
πθπθ
∴α= argz - argz = + - θ= ­ 。
2 1 4 2 4 2
πππθ 3ππθ
2°,当<θ<π时, < + < ,cos( + )<0
2 2 4 2 4 4 2
,
这种用复数的辐角主值的差来确定夹角α的方法,思路清晰,但是将
ππ
化为三角形式是解答本题的前提;合理地分0≤θ< 与<θ<π两
2 2
πθ
个区间,判断cos( + )的值的符号则是关键。因此,只有熟练地应
4 2
用三角变换公式,记住复数三角式的特点,并且善于讨论参数的范围,才能
正确作出解答。
二、应用复数除法法则
解法二(分析:若>,则由复数除法的几何意义可知:
z
α= arg 2 。)
z1
由解法一中的①式与②式知道:
æ πθö é æ πθö æ πθöù
2cosç + ÷ cosç + ÷ + isinç + ÷
è ø ê è ø è øú
z1 2 2 ë 4 2 4 2 û
=
z2 cosθ+ isin θ
æ πθöé æ πθö æ πθöù
= 2cosç + ÷êcosç ­ ÷ + i sinç ­ ÷ú ③
è 4 2 øë è 4 2 ø è 4 2 øû
πππθπæ πθö
1°,当0≤θ< 时, ≤+ < , cosç + ÷ >0
2 4 4 2 2 è 4 2 ø
z πθπ
所以③式是 2 的三角形式,且0< ­ ≤,
z1 4 2 4
πππθ 3πæ πθö
2°,当<θ<π时, < + < cosç + ÷<0,
2 2 4 2 4 è 4 2 ø
z2 æ πθö é æ 5πθö æ 5πθöù
∴= ­2cosç + ÷ êcosç ­ ÷ + i sinç ­ ÷ú ④
z1 è 4 2 ø ë è 4 2 ø è 4 2 øû
z 3π 5πθ
所以④式是 2 的三角形式,且< ­ <π,
z1 4 4 2
z 5πθ
∴α= arg 2 = ­
z1 4 2
这种由复数的商的辐角主值来确定夹角α的方法,是建立在对于复数相
除的几何意义有着深刻理解的基础上的。与解法一相比较,思路要复杂些,
因为两个复数的辐角主值的差是通过两个复数的商的辐角主值来体现的。这
πθπθ
样,对于③式来说,不仅要判断cos( + )的值的符号还要分析-
4 2 4 2
的范围,没有较强的分析能力与扎实的基础知识是容易弄错的。
另解:若从入手,则由于
z cosθ+ isin θ
1 =
z2 æ πθö é æ πθö æ πθöù
2cosç + ÷ êco