文档介绍：闯进中考试卷的数学开放题

湖北吴正凯
随着九年义务教育的实施和教育模式由“应试教育”向素质教育转
轨,一个崭新的数学题型的触角悄悄地伸向中考试卷,这就是开放型数
学试题让我们先看一个例子:
引例( 年宁夏回族自治区中考试题)如图,已知⊙内切于
四边形, ,连结、根据上述条件,结合图形直接写出结
论(除图中、、、、五个字母外不要标注或使用其他字母,不添
加任何辅助线,不写推理过程)
这道题很特别,没有现成的结论,甚至结论可有多个而不惟一确定,
考生可以根据自己对几何知识的认识写出一个到多个结论这就是开放
型数学题
开放型数学问题是相对于给出了明确的条件和结论的封闭型问题而
言的所谓开放型数学题通常指答案不确定或条件不完备,或具有多种不
同解法,或有多种可能的解答等类型的数学问题如果我们把数学习题看
作是一个系统:、、、,其中表示习题的条件, 表示解题依据,
表示解题方法, 表示习题的结论这个系统中的四个要素若有两个未
知则称为探索性题;若有三个未知则是问题性习题开放题就属于问题性
习题(少数属于探索性习题)引例就是解题依据不明、解题方法不明、
结论不明的问题性试题将问题性试题即开放题引入中考无疑是因为这
类试题具有其他试题所不可替代的功能
一、条件开放型试题
例( 南京市中考试题)已知:、、分别是△中∠、
∠、∠的对边(>)二次函数=()( ) 的图象
的顶点在轴上,且、是关于的方程(+)()
+ 的两个根
()判断△的形状,并说明理由;
()求的值;
()若这个三角形的外接圆面积为π,求△的内接正方形(四
个顶点都在三角形的边上)的边长
所谓条件开放型试题是指在结论不变的前提下,条件不惟一的开放
题本例第()问中,由于正方形内接于三角形的方式不单一,因而如
图所示,将产生两个答案由于课本上出现过类似乙图的图形,学生就
可能受定势思维的影响只给出乙图时的解答,只有敢于突破,具有创新
意识的同学才可能给出甲、乙两种情况下的解答
例( 年北京市中考试题)已知矩形的长大于宽的倍,周
长为,从它的一个顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯
形,且这条射线与矩形一边所成的角的正切值为设梯形面积为,
梯形中较短底的长为,试写出梯形面积关于的函数关系式,并指出
自变量的取值范围
几何问题往往都对应于一定的图形,由于几何元素之间位置关系的
可变性又决定了图形的多样性,而图形是问题条件的重要组成部分,图
形的多样性就决定了问题条件的开放性如本例中条件对应着图的甲、
乙两种情况,于是本例的解答亦有两个结论由于题设条件中强调“长大
于宽的倍”,因此,部分学生会被导入乙图而忽视了甲图,只有思维
发散性较强的同学才会画出两种图形分别求解
二、结论开放型试题
例( 年广东省中考试题)如图所示, 是Δ斜边
上的高, ,过点、的圆与、分别交于点、,弦与
相交于点
()图中有哪些三角形与Δ相似(不要求说明理由)?
()当= 时,求+ 的长
数学命题,根据思维形式可分成三个部分:假设——推理——判断
所谓结论开放型题是指其中判断部分是未知要素的开放题,像本例这
样:谁与Δ相似?并且此处的“谁”不惟一更为特殊的是其答案中
有Δ、Δ、Δ,其中后两个三角形是全等的不同水平的考生
可作出不同的回答,既能充分反映考生思维能力的差异,又能促使考生
的思维发散本例用于课堂教学将会有利于激发学生的好奇心,进而调动
学习积极性,主动参与学习过程,且能培养学生思维的发散性,使课堂
充满活力和生机
例( 年江西省中考试题)如图,在直角坐标系中,点
′的坐标为(、),⊙′与轴交于原点和点又、、三点的
坐标分别为(,)、(,)、(,),且<<
()求点的坐标和经过点、的直线的解析式;
()当点在线段上移动时,直线与⊙′有哪几种位置关
系?并求出每种位置关系时, 的取值范围
相对于点与点,点条件被弱化,使得直线与⊙′位置关系
产生变化,从而使本例成为结论开放型试题像本例这样的开放题具有一
定的创新性和探究性,利于激发考生的探究精神和创新意识
三、策略开放型试题
例( 年宜昌市中考试题)
如图,已知菱形的面积为平方单位,∠= °,、、
、分别为、、、的中点下面有四个结论:
()图中多边形为正六边形;
1
(2)图中余弦值为的不同角有且仅有24个;
2
m
(3)图中面积为平方单位的不同菱形有且仅有8个;
4
3m
(4)图中面积为平方单位的不同梯形有且仅有8个.
8
其中错误的结论有
() 个() 个