文档介绍：§ 命题及其关系、充分条件与必要条件
在数学中把用语言、符号或式子表达的,,判断为假的语句叫假命题.
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题. ( × )
(2)“sin 45°=1”是真命题. ( × )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°. ( × )
(4)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题. ( √)
(5)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件. ( × )
(6)若α∈(0,2π),则“sin α=-1”的充要条件是“α=π”. ( √)
,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
≠-b,则|a|≠|b|
=-b,则|a|≠|b|
|a|≠|b|,则a≠-b
|a|=|b|,则a=-b
答案 D
解析命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则a=-b”,故选D.
“若α=,则tan α=1”的逆否命题是( )
≠,则tan α≠1
=,则tan α≠1
α≠1,则α≠
α≠1,则α=
答案 C
解析命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠”,故选C.
4.(2013·福建)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 ( )
答案 A
解析 a=3时A={1,3},显然A⊆B.
但A⊆B时,a=.
5.(2012·天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
答案 A
解析由条件推结论和结论推条件后再判断.
若φ=0,则f(x)=cos x是偶函数,
但是若f(x)=cos(x+φ) (x∈R)是偶函数,
则φ=“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
题型一四种命题及真假判断
例1 (1)下面是关于复数z=的四个命题:
p1:|z|=2,
p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i,
p4:z的虚部为-1.
其中的真命题为( )
,p3 ,p2
,p4 ,p4
(2)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
思维启迪(1)可化简复数z,再利用复数的知识判断命题真假;(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确,可利用四种命题的关系判断命题是否为真.
答案(1)C (2)D
解析(1)z===-1-i,
所以|z|=,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题,=-1+i,p3为假命题;.
(2)命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例.
(1)命题“若α=,则cos α=”的逆命题是( )
=,则cos α≠
≠,则cos α≠
α=,则α=
α≠,