文档介绍：§ 数学归纳法
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按以下步骤:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. ( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明. ( × )
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用. ( × )
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. ( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( √)
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3. ( √)
(n-3)条时,第一步检验n等于 ( )
答案 C
解析凸n边形的边最少有三条,故第一个值n0取3.
(n)=1+++…+(n∈N+),则f(1)为( )
B.
++++
答案 C
解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数,且最大分母为6n-1,则当n=1时,最大分母为5,故选C.
(n)=++…+,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)=________.
答案-
解析 f(n+1)-f(n)=++…+++-(++…+)=+-=-.
:“1+++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推理n=k+1时,左边应增加的项数是________.
答案 2k
解析当n=k时,要证的式子为1+++…+<k;
当n=k+1时,要证的式子为1+++…++++…+<k+1.
左边增加了2k项.
题型一用数学归纳法证明等式
例1 求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+).
思维启迪证明时注意等式两边从n=k到n=k+1时的变化.
证明①当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;
②假设当n=k(k∈N+)时等式成立,
即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),
那么当n=k+1时,
左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)
=2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2
=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1),
这就是说当n=k+1时等式也成立.
由①②可知,对所有n∈N+等式成立.
思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意
(1)明确初始值n0的取值并验证n=n0时等式成立.
(2)由n=k证明n=k+1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标.
(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.
用数学归纳法证明:对任意的n∈N*,++…+=.
证明(1)当n=1时,左边==,
右边==,左边=右边,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有
++…+=,
则当n=k+1时,
++…++
=+=
===,
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.
题型二用数学归纳法证明不等式
例2 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x∈[,]时,f(x)≥.
(1)求a的值;
(2)设0<a1<,an+1=f(an),n∈N*,证明:an<.
思维启迪(1)利用题中条件分别确定a的范围,进而求a;
(2)利用数学归纳法证明.
(1)解由题意,知f(x)=ax-x2=-(x-)2+.
又f(x)max≤,所以f()=≤.
所以a2≤1.
又x∈[,]时,f(x)≥,
所以即
解得a≥1.
又因为a2≤1,所以a=1.
(2)证明用数学归纳法证明:
①当n=1时,0<a1<,显然结论成立.
因为当x∈(0,)时,0<f(x)≤,
所以0<a2=f(a1)≤<.
故n=2时,原不等式也成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式0<ak<成立.
因为f(x)=ax-x2的对称轴为直线x=,
所以当x∈(0,]时,f(x)为增函数.
所以由0<ak<≤,得0<f(ak)<f().
于是,0<ak+1=f(ak