文档介绍：§ 直接证明与间接证明
综合法
分析法
定义
从已知条件和某些数学定义、定理、公理等出发,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的充分条件,最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件.
思维过程
由因导果
执果索因
证题步骤
P(已知)⇒P1
⇒P2⇒…
⇒Pn⇒Q(结论)
Q(结论)⇐Q1
⇐Q2⇐…
⇐Qn⇐P(已知)
文字语言
因为…,所以…
或由…,得…
要证…,只需证…,即证…
符号语言
⇒
⇐
反证法
定义
要证明某一结论Q是正确的,但不直接证明,而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设非Q是错误的,从而断定结论Q是正确的,这种证明方法叫做反证法.
证明步骤
(1)分清命题的条件和结论;
(2)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
(3)由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止;
(4)由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.
适用范围
(1)否定性命题;
(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的;
(3)当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太少,且不容易说明,而其逆否命题又是非常容易证明的;
(4)要讨论的情况很复杂,而反面情况很少.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明. ( × )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件. ( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”. ( × )
(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. ( × )
(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.
( √)
(6)证明不等式+<+最合适的方法是分析法. ( √)
,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是( )
<bc2 >ab>b2
C.< D.>
答案 B
解析 a2-ab=a(a-b),
∵a<b<0,∴a-b<0,∴a2-ab>0,∴a2>ab. ①
又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2, ②
由①②得a2>ab>b2.
=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系为( )
>b <b =b ≤b
答案 A
解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex,当x<0时,0<b<1,
∴a>b.
,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
,b,c中至少有两个偶数
,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
,b,c都是奇数
,b,c都是偶数
答案 B
解析自然数a,b,c中为偶数的情况为a,b,c全为偶数;a,b,c中有两个数为偶数;a,b,c全为奇数;a,b,c中恰有一个数为偶数,所以反设为a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.
+b>a+b,则a、b应满足的条件是________.
答案 a≥0,b≥0且a≠b
解析∵a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)
=(-)(a-b)=(-)2(+).
∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.
故a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.
题型一综合法的应用
例1 对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)=0;
(2)试判断函数f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)=(x∈[0,1])是否是理想函数.
思维启迪(1)取特殊值代入计算即可证明;
(2)对照新定义中的3个条件,逐一代入验证,只有满足所有条件,才能得出“是理想函数”的结论,否则得出“不是理想函数”的结论.
(1)证明取x1=x2=0,则x1+x2=0≤1,
∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.
又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,
∴f(0)≥(0)=0.
(2)解对于f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2不满足新定义中的条件②,
∴f(x)=2x,(x∈[0,1])不是理想函数.
对于f(x)=x2,x∈[0,1],显然