文档介绍：§ 椭圆
在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|),两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
标准方程
+=1 (a>b>0)
+=1 (a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a-b≤y≤b
-b≤x≤b-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( √)
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( × )
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( √)
,若椭圆+=1的离心率为,则m的值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析由题意知a2=m,b2=2,∴c2=m-2.
∵e=,∴=,∴=,∴m=.
3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析由题意知c=1,e==,所以a=2,b2=a2-c2=+=1.
+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是__________.
答案(0,1)
解析将椭圆方程化为+=1,
∵焦点在y轴上,∴>2,即k<1,又k>0,∴0<k<1.
+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.
答案-1
解析设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A,则|AF1|=c,|AF2|=c,有2a=(1+)c,
∴e===-1.
题型一椭圆的定义及标准方程
例1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为________.
(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1)、P2(-,-),则椭圆的方程为________.
思维启迪(1)题主要考虑椭圆的定义;
(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况;
(3)可以用待定系数法求解.
答案(1)B (2)+y2=1或+=1
(3)+=1
解析(1)点P在线段AN的垂直平分线上,
故|PA|=|PN|,
又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,
由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
(2)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆过P(3,0),∴+=1,即a=3,
又2a=3×2b,∴b=1,方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点P(3,0).∴+=1,即b=3.
又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为+=1.
∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.
(3)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆方程.
则
①、②两式联立,解得
∴所求椭圆方程为+=1.
思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0