文档介绍：§ 函数与方程
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x) (x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.
=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
(1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
②求区间(a,b)的中点c;
③计算f(c);
(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
④判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( × )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0. ( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点. ( √)
(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( × )
(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. ( √)
(6)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则-1<k<-. ( × )
2.(2013·天津)函数f(x)=2x| x|-1的零点个数为( )
答案 B
解析当0<x<1时,f(x)=-1,令f(x)=0,=x
由y=,y=x的图象知,在(0,1)内有一个交点,即f(x)在(0,1)上有一个零点.
当x>1时,f(x)=--1=2xlog2x-1,
令f(x)=0得log2x=x,
由y=log2x,y=x的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即f(x)在(1,+∞)上有一个零点,故选B.
3.(2013·重庆)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案 A
解析由于a<b<c,所以f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,又因f(x)是关于x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A.
,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A.(-,0) B.(0,)
C.(,) D.(,)
答案 C
解析∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0.
∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数.
∵f(-)=e-4<0,f(0)=e0+4×0-3=-2<0,
f()=e-2<0,f()=e-1>0,
∴f()·f()<0.
(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N*),则k的值为________.
答案 3
解析由题意知,当x>1时,f(x)单调递减,因为f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3.
题型一函数零点的判断和求解
例1 (1)(2012·湖北)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
(2)设函数f(x)=x2+(x≠0).当a>1时,方程f(x)=f(a)的实根个数为________.
思维启迪(1)函数零点的确定问题