文档介绍：§ 导数的综合应用
1. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
2. 不等式问题
(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数在闭区间上必有最值. ( √)
(2)函数f(x)=x2-3x+2的极小值也是最小值. ( √)
(3)函数f(x)=+x-1和g(x)=-x-1都是在x=0时取得最小值-1. ( × )
(4)函数f(x)=x2ln x没有最值. ( × )
(5)已知x∈(0,),则sin x>x. ( × )
(6)若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上没有实数根. ( × )
2. (2013·福建)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )
A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)
B.-x0是f(-x)的极小值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
答案 D
解析 A错,,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x),函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x),函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.
3. 设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
B. C. D.
答案 D
解析|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,
h′(x)=2x-=,
显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,
也是最小值点,故t=.
4. 若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.
答案(-2,2)
解析由于函数f(x)是连续的,′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)·f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).
5. 若f(x)=,0<a<b<e,则f(a)、f(b)的大小关系为________.
答案 f(a)<f(b)
解析 f′(x)=,
当x∈(0,e)时,>0,即f′(x)>0,
∴f(x)在(0,e)上为增函数,
又∵0<a<b<e,∴f(a)<f(b).
题型一利用导数证明不等式
例1 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a>
=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).
思维启迪(1)设公共点为(x0,y0),则f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)可得a,b的关系;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的最值.
(1)解设两曲线的公共点为(x0,y0),
f′(x)=x+2a,g′(x)=,
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即
由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).
即有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a.
令h(t)=t2-3t2ln t(t>0),则h′(t)=2t(1-3ln t).
于是当t(1-3ln t)>0,即0<t<e时,h′(t)>0;
当t(1-3ln t)<0,即t>e时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,e)上为增函数,在(e,+∞)上为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(e)=e,
即b的最大值为e.
(2)证明设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2ln x-b(x>0),
则F′(x)=x+2a-=(x>0).
故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.
于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,
即当x>0时,f(x)