文档介绍：专题五高考中的圆锥曲线问题
、F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.
答案 8
解析由题意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,
又由a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,
即|AB|=8.
=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( )
A.
答案 C
解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,
这时x=,∴y=±p,|AB|min=2p.
-=1的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为( )

答案 B
解析双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,即x±ay=0,圆(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为r=2,如图,由圆的弦长公式得弦心距|CD|==,另一方面,圆心C(2,0)到双曲线-=1的渐近线x-ay=0的距离为d==,所以=,解得a2=1,即a=1,该双曲线的实轴长为2a=2.
=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是
( )
A.(-2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(-1,2)
答案 B
解析如图所示,直线l为抛物线y=2x2的准线,F为其焦点,PN⊥l,
AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|=|PN|,
∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,
当且仅当A、P、N三点共线时取等号.
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,
则可排除A、C、D,故选B.
,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则·等于 ( )
A. B.- D.-3
答案 B
解析方法一(特殊值法)
抛物线的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(,1),B(,-1),
∴·=·=-1=-.
方法二设A(x1,y1),B(x2,y2),
则·=x1x2+y1y2.
由抛物线的过焦点的弦的性质知:
x1x2==,y1y2=-p2=-1.
∴·=-1=-.
题型一圆锥曲线中的范围、最值问题
例1 (2012·浙江改编)如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛
物线C:y2=2px(p>0)(t,1)是C上的定点,A,B
是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.
(1)求曲线C的方程及t的值;
(2)记d=,求d的最大值.
思维启迪(1)依条件,构建关于p,t的方程;
(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系,并表示弦AB的长度,运用函数的性质或基本不等式求d的最大值.
解(1)y2=2px(p>0)的准线x=-,
∴1-(-)=,p=,
∴抛物线C的方程为y2=x.
又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1.
(2)由(1)知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m),
依题意,直线AB的斜率存在,且不为0,
设直线AB的斜率为k(k≠0).
且A(x1,y1),B(),
由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,
所以直线AB的方程为y-m=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x,
整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.
从而|AB|= ·|y1-y2|=·
=2
∴d==2≤m+(1-m)=1,
当且仅当m=1-m,即m=时,上式等号成立,
又m=满足Δ=4m-4m2>0.∴d的最大值为1.
思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ,||·||cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P,Q两点.
(1)求||+||的值,并写出曲线C的方程;
(2)求△APQ面积的最大值.
解(1)设M(x,y),在△MAB中,
|AB|=2,∠AMB=2θ,
根据余弦定理得
||2+||2-2||·||cos 2θ=4.
即(||+||)2-2||·||(1+cos 2θ)=4.
(||+||)2-4||·||cos2θ=4.