微积分习题答案 (3).pdf

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习题
1. 验证下列方程是恰当方程, 并求出方程的解:
1 1 x
(2) (cos x + y )dx + ( y − y2 )dy = 0.
(3) (5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2y − 3xy2 + y2)dy = 0.
dy 6x+y+2
(5) dx = − x+8y−3 .
x dy
(9) 3y + e + (3x + cos y) dx = 0.
解:
这里 1 1 x 由于
(2) M(x, y) = cos x + y , N(x, y) = y − y2 ,
∂M 1 ∂N
= −= ,
∂y y2 ∂x
所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 1, 可计算出
Z Z
x 1 y 1
U(x, y) = (cos x + )dx + dy
0 y 1 y
x
= sin x + + ln |y|.
y
x
故该方程的通解为 sin x + y + ln |y| = C, 其中 C 为任意常数.
(3) 这里 M(x, y) = 5x4 + 3xy2 − y3, N(x, y) = 3x2y − 3xy2 + y2, 由于
∂M ∂N
= 6xy − 3y2 = ,
∂y ∂x
所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 0, 可计算出
Z x Z y
U(x, y) = (5x4 + 3xy2 − y3)dx + y2dy
0 0
3 y3
= x5 + x2y2 − xy3 + .
2 3
5 3 2 2 3 y3
故该方程的通解为 x + 2 x y − xy + 3 = C, 其中 C 为任意常数.
(5) 将原方程改写为
(6x + y + 2)dx + (x + 8y − 3)dy = 0,
这里 M(x, y) = 6x + y + 2, N(x, y) = x + 8y − 3, 由于
∂M ∂N
= 1 = ,
∂y ∂x
所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 0, 可计算出
Z x Z y
U(x, y) = (6x + y + 2)dx + (8y − 3)dy
0 0
= 3x2 + xy + 2x + 4y2 − 3y.
故该方程的通解为 3x2 + xy + 2x + 4y2 − 3y = C, 其中 C 为任意常数.
2
(9) 将原方程改写为
(3y + ex)dx + (3x + cos y)dy = 0,
这里 M(x, y) = 3y + ex, N(x, y) = 3x + cos y, 由于
∂M ∂N
= 3 = ,
∂y ∂x
所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 0, 可计算出
Z x Z y
U(x, y) = (3y + ex)dx + cos ydy
0 0
= ex + 3xy + sin y.
故该方程的通解为 ex + 3xy + sin y = C, 其中 C 为任意常数.
3. 试用积分因子法解下列方程:
(1) ydx + (