文档介绍：1
习题
1. 求下列方程的通解.
dy 2 dy x2
(2) y = ( dx ) − x dx + 2 .
2 dy dy 2
(3) y (1 − dx ) = (2 − dx ) .
dy 3 dy 2
(4) ( dx ) − 4xy dx + 8y = 0.
解:
dy
(2) 令 p = dx , 则原方程变为:
x2
y = p2 − xp + .
2
对上述方程两边关于 x 求导, 得
dp dp
p = 2p − p − x + x,
dx dx
即
dp
(2p − x) = (2p − x),
dx
dp
若 2p − x 6= 0, 则 dx = 1, 从而 p = x + C, 其中 C 为任意常数, 因而原方程的通解为
x2 2 x2
y = 2 + Cx + C . 若 2p − x = 0, 容易求出原方程的另一解 y = 4 .
dy
(3) 令 dx = p, 2 − p = yt, 由方程可得
1
p = 1 − t2, y = t + .
t
当 p 6= 0 时, 得:
dy 1
dx = = − dt.
p t2
则
Z
1 1
x = − dt = + C.
t2 t
因此, 原方程的参数形式的解为
8
> 1
<> x = t + C,
>
:> 1
y = t + t ,
其中 C 为任意常数. 消去参数后得:
1
y = x + − C.
x − C
此外, 当 p = 0 时, 易知 y = ±2 也是方程的解.
dy
(4) 令 p = dx , 则
p2 2y
x = + .
4y p
对上述方程两边关于 x 求导, 得
p 2y dp p2
1 = ( −)p −+ 2,
2y p2 dy 4y2
2
即
p3 − 4y2 dp p3 − 4y2
= ,
2yp2 dy 4y2p
由此得
dp p
= 或 p3 − 4y2 = 0.
dy 2y
dp p 1
2
由 dy = 2y 得 p = C1y , 其中 C1 为任意常数. 故
2 1
C 2y 2
x = 1 + ,
4 C1
2
2 C1
即 y = C(x − C) , 其中 C = 4 .
3 2 2 1
由 p − 4y = 0 得 p = (4y ) 3 , 由此得方程的另一个解
27
x3 = y,
4
4 3
即 y = 27 x .
2. 解下列方程, 并求奇解(如果存在的话).
dy 2 2
(1) ( dx ) + y − 1 = 0.
dy 2 dy
(2) x( dx ) − y dx + 1 = 0.
p
dy 2
(6) dx = −x + x + 2y.
解:
dy
(1) 令 dx = p, 由方程可得
p = cos t, y = sin t.
当 p 6= 0 时, 得:
dy
dx =