微积分习题答案 (7).pdf

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第四章习题与思考
1. 求齐次线性方程的实通解:
d3x d2x dx
(2) dt3 − dt2 + 2 dt − 2x = 0.
d4x d3x dx
(4) dt4 − 2 dt3 + 2 dt − x = 0.
解:
(2) 该方程的特征多项式为
λ3 −λ2 + 2λ− 2 = (λ− 1)(λ2 + 2),
√√√
因此特征根为 1, ± 2i. 故原方程有实基本解组 et, cos 2t, sin 2t. 由此得实通解
t √√
x(t) = C1e + C2 cos 2t + C3 sin 2t,
其中 C1, C2, C3 为任意常数.
(4) 该方程的特征多项式为
λ4 − 2λ3 + 2λ− 1 = (λ− 1)3(λ+ 1),
因此特征根为 1 (三重根), −1. 故原方程有实基本解组 et, tet, t2et, e−t. 由此得实通解
t 2 −t
x(t) = e (C1 + C2t + C3t ) + C4e ,
其中 C1, C2, C3, C4 为任意常数.
2∗. 分析振动方程
d2x dx
+ 2δ+ ω2x = 0
dt2 dt
的特征根并给出通解. 这里δ≥ 0, ω> 0.
解: 从该振动方程的特征方程
λ2 + 2δλ+ ω2 = 0
求得特征根为 p
2 2
λ1,2 = −δ± δ−ω.
根据δ2 −ω2 的符号可分为如下三种情况:
√
(i) 当δ> ω时, 有二个相异实特征根−δ± δ2 −ω2, 方程的实通解为
√√
−δt δ2−ω2t −δ2−ω2t
x(t) = e (C1e + C2e ),
其中 C1, C2 为任意常数.
(ii) 当δ= ω时, 有一个实二重特征根−δ, 方程的实通解为
−δt
x(t) = C1e (C1 + C2t),
其中 C1, C2 为任意常数.
√
(iii) 当δ< ω时, 有一对共轭复特征根−δ± ω2 −δ2i, 方程的实通解为
p p
−δt 2 2 2 2
x(t) = e (C1 cos ω−δ t + C2 sin ω−δ t),
其中 C1, C2 为任意常数.
3. 求非齐次线性方程的实通解:
d2x dx 2
(1) dt2 + dt = 1 + t .
d2x
(3) dt2 + 4x = t sin 2t.
2
d3x d2x dx 2
(4) dt3 − 4 dt2 + 3 dt = t .
解:
(1) 该方程对应的齐次线性方程的特征多项式为λ2 + λ, 因此特征根为 0, −1. 故原方程对应的齐次
线性方程有实基本解组 1, e−t. 又原方程有特解
1 1 1
x(t) = · (1 + t2) = · (1 + t2)
D2 + D D + 1 D
1 1
= · (t + t3)
D + 1 3
1
= (1 − D + D2 − D3)(t + t3)
3
t3
= − t2 + 3t − 3.
3
由此得原方程的实通解
t3