微积分习题答案 (9).pdf

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习题
1. 设 x(t) = ϕ(t) 是初值问题
dx
= f(t, x), x(t ) = x
dt 0 0
在区间[t0 − h, t0 + h] 上的连续解, 其中 f(t, x) 在矩形区域
2
R = {(t, x) ∈ R : |t − t0| ≤ a, |x − x0| ≤ b}
b
上连续, 在 R 上关于 x 满足 Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为 L, h = min{a, M }, M = max{|f(t, x)| :
(t, x) ∈ R}. 设ϕn(t) 是 Picard 迭代序列中第 n 次迭代得到的函数, 证明有如下的误差估计:
MLn
|ϕ(t) −ϕ(t)| ≤ hn+1.
n (n + 1)!
证明: 不妨设 t ∈[t0, t0 + h], 对 t ∈[t0 − h, t0] 的证明完全类似. ϕ(t)在区间[t0, t0 + h]上满足积分方
程
Z t
ϕ(t) = x0 + f(τ; ϕ(τ))dτ,
t0
由{ϕn(t)}的构造,显然有
Z t
|ϕ0(t) −ϕ(t)| ≤|f(τ; ϕ(τ))|dτ≤ M(t − t0).
t0
由此及Lipschitz条件,得
Z t
|ϕ1(t) −ϕ(t)| ≤|f(τ; ϕ0(τ)) − f(τ; ϕ(τ))|dτ
t0
Z t Z t
≤ L |ϕ0(τ) −ϕ(τ)|dτ≤ LM (τ− t0)dτ
t0 t0
ML
= (t − t )2.
2! 0
一般地,假设当k = m + 1时,
MLm
|ϕ(t) −ϕ(t)| ≤(t − t )m+1,
m (m + 1)! 0
则当k = m + 1时,
Z t
|ϕm+1(t) −ϕ(t)| ≤|f(τ; ϕm(τ)) − f(τ; ϕ(τ))|dτ
t
Z 0 Z
t MLm+1 t
≤ L |ϕ(τ) −ϕ(τ)|dτ≤(τ− t )m+1dτ
m (m + 1)! 0
t0 t0
MLm+1
= (t − t )m+2.
(m + 2)! 0
因此由数学归纳法知,对任意整数n都有当t ∈[t0, t0 + h]时:
MLn MLn
|ϕ(t) −ϕ(t)| ≤(t − t )n+1 ≤ hn+1.
n (n + 1)! 0 (n + 1)!
即所给误差估计成立.
2
dx 2
3. 求方程 dt = x 过点(0, 1) 的第三次近似解.
解: 所给初值问题的Picard迭代序列如下:
ϕ0(t) = 1,
Z t
2
ϕ1(t) = 1 + ϕ0(τ)dτ= 1 + t,
0
Z t
2 2 1 3
ϕ2(t) = 1 + ϕ1(τ)dτ= 1 + t + t + t ,
0 3
由此得第三次近似解为
Z t
2
ϕ3(t) = 1 + ϕ2(τ)dτ
0
2 1 1 1
= 1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7.
3 3 9 63