文档介绍：第一章测试题
(A)
2、(1)
(2)
3、,于是无上界,同理可验证无下界。
5、时,设,于是,这样
同理可证
6、(1) (2)
7、由(1)可得。为了证,用反证法。若,设,使得。
(B)
1、
2、
3、参见本章§2范例5。
4、(1) (2)
5、
6、设,于是
(1)若,有
,有,因为
于是,这样
同理讨论下列情况:(2)(3)(4)
7、(1)若A,B中有一集合无上界,不妨设A无上界,则S也是无上界数集,于是,结论成立。若A,B都是有上界数集,且,现设法证明
(ⅰ),无论或,有
(ⅱ)于是
同理可证(2)。
第二章测试题
(A)
2、0.
3、提示设,则有

然后可证
4、提示用数学归纳法证:,应用单调有界定理,可证
5、(1)错误使用四则运算法则。
(2)利用极限保不等式性证明。
6、由时,,因为,于是
(当)。
这样时
7、设,由确界定义,

时,,于是
即
(B)
1、提示(1)

(2)
2、提示证明递增且,于是可得
3、提示构造在附近摆动的数列。
4、提示取定。因为时,于是
5、提示设为无穷小数列,于是

6、提示
7、可证为递减数列,不然的话,,使得。由,有,于是
…………
把以上诸式相加,有
因为,当时,可大于任何正数,与为有界数列矛盾。由单调有界定理,,于是
第三章测试题
(A)
1、提示
若取,可以估计
2、提示,当时,
3、1.
4、
5、提示以为例说明符合题中的说法,但不存在。
6、,使得
7、,可以仿照对黎曼函数的证明,,说明使得的的值至多只有有限个,记为,取
于是当时,。
(B)
1、提示
取时,可得
2、提示,当时,
3、
4、
5、提示(1)若,当时,,设于是当时,
6、提示若时,证明:
7、(1)
(2)

因为
于是
第四章测试题
1、为可去间断点;为第二类间断点。
2、(1)可用反证法证明在点不连续。但可能在点处连续,例
(2)都无法断定和的不连续性,例如
3、提示
4、提示

5、提示若时,过()作平行于y轴的直线与相交,中位于此直线左面那部分面积记为,于是有,S为的面积。设法证明是的连续函数,利用介值定理可以证明本题。
6、提示(1)利用不一致连续的正面陈述来证明;(2)
7、提示由,可得在上一致连续。
(B)
1、为第二类间断点;为跳跃间断点。
2、提示

3、提示
4、提示。先设,用数学归纳法证明
对任意,可设取,然后用连续性得证。
5、提示由题设,取,由,当时,。然后在上应用连续函数最大、最小值定理。
6、提示(1)讨论在上的最小值。(2)。
7、提示设法证在上递增,不然的话,.在上函数可以取到最小值,与所设矛盾。
第五章测试题
(A)
2、
3、
4、(1)否; (2)是。
6、提示当,设,有
7、解(1)
上面三式相加,有
(2)把上面方程两边求阶导数,应用莱布尼茨公式后有
化简后得
用代入上面方程有
因,由上式有。因,由上式有
(B)
2、
3、提示先证
5、提示由定义出发可求得处切线斜率为零。
6、(1)否,考虑函数
(2)否,考虑函数
7、提示利用不等式估计:
第六章测试题
(A)
2、提示固定,对应用拉格朗日中值定理。反之不然,考虑
3、提示应用泰勒公式。
4、提示利用条件,讨论的符号。
5、提示[证法一]作代换,然后应用罗尔中值定理。[证法二]用反证法,利用导数极限定理,有或
6、提示作辅助函数然后应用第5题的结论。
7、解,把在0,1两点处分别泰勒展开到二阶余项,有

上面两式相减后有
用反证法,若,则

产生矛盾。于是
(B)
1、提示设,在或上对应用拉格朗日中值定理。