文档介绍：§6 三次样条插值
问题的提出:
上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性,但光滑
性较差,对于像高速飞机的机翼形线,船体放样等型值线
往往要求有二阶光滑度,即有二阶连续导数,早期工程师
制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定
在样点上,在其它地方让它自由弯曲,然后画下长条的曲
线,称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成,在连接点即样点上要求二阶导数连续,从数学上加以概括
就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样
条函数。
三次样条函数:
定义:函数,且在每个小区间上是三次
多项式,其中是给定节点,则称是
节点上的三次样条函数。
若在节点上给定函数值,并成立

,
则称为三次样条插值函数。
从定义知要求出,在每个小区间上要确定
4个待定系数,共有个小区间,故应确定个参数。
根据在上二阶导数连续,在节点
处应满足连续性条件
,,

共有个条件,再加上满足插值条件
,
共有个条件,因此还需要2个条件才能确定。
通常可在区间端点上各加一个条件
(称为边界条件),可根据实际问题的要求给定。常见的有
以下三种:
1° 已知两端的一阶导数值,即
.
2° 两端的二阶导数已知,即
,
其特殊情况,称为自然边界条件。
3° 当是以为周期的周期函数时,则要求
也是周期函数。这时边界条件应满足
,
,
而此时。这样确定的样条函数,称为周期样条函数。
三转角方程:
现在构造满足条件及加上相应
边界条件的三次样条函数的表达式。
若假定在节点处的值为,则
由分段三次埃尔米特插值公式可得
,
其中、是插值基函数。
显然,表达式中及在整个区间上连续,且
满足;
现需确定,可利用
及某一边界条件来确定。为了求出,我们考虑在上的表达式

这里。对求二次导数得
,
于是 .
同理,可得在区间上的表达式
,
及。
由条件,可得

用除全式,并注意,上面方
程可简化为

其中
,
,
此方程是关于未知数的个方程,若加上边
界条件:,,则方程变为只含