文档介绍：第四节
两类问题:
在收敛域内
和函数
求和
展开
本节内容:
一、泰勒( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
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第十一章
一、泰勒( Taylor ) 级数
其中
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项.
则在
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式,
该邻域内有:
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为f (x) 的泰勒级数.
则称
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数.
1) 对此级数, 它的收敛域是什么?
2) 在收敛域上, 和函数是否为 f (x) ?
待解决的问题:
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
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定理1 .
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
证明:
令
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
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定理2.
若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
唯一的, 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
显然结论成立.
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二、函数展开成幂级数
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知,
第一步求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值;
第二步写出麦克劳林级数, 并求出其收敛半径 R ;
第三步判别在收敛区间(-R, R) 内
是否为
骤如下:
展开方法
直接展开法
—利用泰勒公式
间接展开法
—利用已知其级数展开式
0.
的函数展开
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
(在0与x 之间)
故得级数
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例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解:
得级数:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
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类似可推出:
(P220 例3)
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例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数.
解: 易求出
于是得级数
由于
级数在开区间(-1, 1) 内收敛.
因此对任意常数 m,
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