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第十一节
微分方程的幂级数解法
一、一阶微分方程问题
二、二阶齐次线性微分方程问题
微分方程解法:
积分法
—只能解一些特殊类型方程
幂级数法
—本节介绍
数值解法
—计算数学内容
本节内容:
第十二章
一、一阶微分方程问题
幂级数解法:
将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.
①
设所求解为
本质上是待定系数法
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例1.
解:
根据初始条件, 设所求特解为
代入原方程, 得
比较同次幂系数, 得
故所求解的幂级数前几项为
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二、二阶齐次线性微分方程
定理.
则在-R < x < R 内方程②必有幂级数解:
②
设 P(x), Q(x) 在(-R, R ) 内可展成 x 的幂级数,
(证明略)
此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,
很多
重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.
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例2.
的一个特解.
解:
设特解为
代入原方程整理得
比较系数得:
可任意取值,
因是求特解, 故取
从而得
当n > 4 时,
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因此
注意到:
此题的上述特解即为
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例3.
解:
求解勒让德(Legendre) 方程
展成幂级数,
满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为
代入③:
③
整理后得:
比较系数, 得
例如:
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于是得勒让德方程的通解:
上式中两个级数都在(-1, 1 )内收敛,
可以任意取,
它们是方程的
两个线性无关特解.
作业 P323 1 (1),(4); 2(2)
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