复变函数论10.ppt

文档介绍：辅导课程十
复变函数论
主讲教师:李伟勋
第二节幂级数
1 幂级数的敛散性
1 具有

形式的复函数项级数称为幂级数,其中
和都是复常数。
阿贝尔(Abel)定理
如果幂级数()在某点收敛,则它必在圆
(即以为心,圆周通过的圆)
内绝对收敛且内闭一致收敛。
若幂级数()在某点发散,则它在以为心并通过的圆周外部发散。
由Abel定理可以证明,存在一个数R,使得级数在圆周内部绝对收敛,在圆周的外部发散。R称为此幂级数的收敛半径;圆和圆周分别称为它的收敛圆和收敛圆周。意味着收敛圆是全平面。
收敛圆周上的敛散性有如下三种可能:(1)处处发散;(2)既有收敛点,又有发散点;(3)处处收敛
2收敛半径R的求法
试求下列各幂级数的收敛半径
(1)
解
(2)
解因
故
(3)
解因
故
(4)
解当n是平方数时,
其他情形。因此,相应有,
于是数列
的聚点是0和1,从而