复变函数论11.ppt

文档介绍：辅导课程十一
复变函数论
主讲教师:李伟勋
第三节解析函数 的泰勒(Taylor)展式
这一节主要研究在圆内解析的函数展开成幂级数的问题。
(泰勒定理) 设在区域内解析,只要圆含于,则在内能展成幂级数
其中系数

且展式是唯一的。
证证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式
(1):
在区域内解析的充要条件为: 在内任一点的邻域内可展成幂级数,即泰勒级数。
2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
如果幂级数的收敛半径
且
则在收敛圆周上至少有一奇点。
即不可能有这样的函数存在,它在内与恒等,而在上处处解析。

下面给出几个初等函数的泰勒展式,它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的。如
将在
展开成幂级数。

解因在内解析,故展开后的幂级数在内收敛。已经知道:
当时将两式相乘得(按对角线方法)
将及
展为的幂级数。
解因