复变函数论2.ppt

文档介绍：辅导课程二
复变函数论
主讲教师:李伟勋
第三节复变函数
1 定义
定义9 设为一复数集,若对内每一复数,有唯一确定的复数与之对应,则称在上确定了一个单值函数。若对内每一复数,有几个或无穷多个与之对应,则称在上确定了一个多值函数。
例
等均为单值函数。

等均为多值函数。
注以后如不特别说明,所提函数均指单值函数。
2表示形式
复变函数一般有三种表示形式:
(1)
(2) 若令,则有

(3)若令, 则有
复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。一般我们取两张复平面,分别称为平面和平面, 而把复变函数理解为两个复平面上的点集之间的对应。
例1  试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线?
(1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧;
(2)  倾角的直线;
(3)  双曲线。
解设
则

因此
(1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。
(1)    在平面上对应的图形为:射线。
(2)      因,故
在平面上对应的图形为:直线
复变函数的极限与连续性
定义10 设, 为的聚点。若存在一复数,
使
只要
就有
则称沿于有极限,并记为
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系:
定理2 设函数
于点集上有定义,
则
的充要条件是