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§ 二阶线性偏微分方程的分类第 2 页
§ 二阶线性偏微分方程的分类
在本课程的数学物理方程部分中,总共讨论了三种类型偏微分方程
•波动方程
•热传导方程
•稳定问题,如Laplace方程,Poisson方程,Helmholtz方程等
,描写了不同的物理过程,它们的解也都表现出各自不同的特
点(例如, ∼ ).在数学上,这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型
三类().
二阶线性偏微分方程,是否就只有这三种类型?
回答是:对于两个自变量的情形,一定如此.
下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例,
形,问题要复杂一些,但讨论的基本方法是一样的.
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是:
∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u
a + 2b + c + d + e + fu + g = 0, (z)
∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂x ∂y
其中a, b, c, d, e, f和g是x, ,函数a, b, c中,
至少有一个不恒为0,否则,就不成其为二阶偏微分方程.
首先考虑a和(或) 6≡
ξ= φ(x, y), η= ψ(x, y).
为了保证ξ和η仍然是独立变量,这一组变换必须满足
∂(ξ, η)
6= 0.
∂(x, y)
在这一组变换下,有
∂u ∂ξ∂u ∂η∂u ∂φ∂u ∂ψ∂u
= + = + ,
∂x ∂x ∂ξ∂x ∂η∂x ∂ξ∂x ∂η
∂u ∂φ∂u ∂ψ∂u
= + ,
∂y ∂y ∂ξ∂y ∂η
∂2u ³∂φ´2 ∂2u ∂φ∂ψ∂2u ³∂ψ´2 ∂2u ∂2φ∂u ∂2ψ∂u
= +2 + + + ,
∂x2 ∂x ∂ξ2 ∂x ∂x ∂ξ∂η∂x ∂η2 ∂x2 ∂ξ∂x2 ∂η
∂2u ∂φ∂φ∂2u ³∂φ∂ψ∂φ∂ψ´ ∂2u ∂ψ∂ψ∂2u
= + + + ,
∂x∂y ∂x ∂y ∂ξ2 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ξ∂η∂x ∂y ∂η2
∂2φ∂u ∂2ψ∂u
+ + ,
∂x∂y ∂ξ∂x∂y ∂η
∂2u ³∂φ´2 ∂2u ∂φ∂ψ∂2u ³∂ψ´2 ∂2u ∂2φ∂u ∂2ψ∂u
= +2 + + + .
∂y2 ∂y ∂ξ2 ∂y ∂y ∂ξ∂η∂y ∂η2 ∂y2 ∂ξ∂y2 ∂η
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所以,方程(z)变为
∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u
A + 2B + C + D + E + F u + G = 0, (#)
∂ξ2 ∂ξ∂η∂η2 ∂ξ∂η
其中,
³∂φ´2 ∂φ∂φ³∂φ´2
A = a + 2b + c ,
∂x ∂x ∂y ∂y
∂φ∂ψ³∂φ∂ψ∂φ∂ψ´ ∂φ∂ψ
B = a + b + + c ,
∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y
³∂ψ´2 ∂ψ∂ψ³∂ψ´2
C = a + 2b + c ,
∂x ∂x ∂y ∂y
∂2φ∂2φ∂2φ∂φ∂φ
D = a + 2b + c + d + e ,
∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂x ∂y
∂2ψ∂2ψ∂2ψ∂ψ∂ψ
E = a + 2b + c + d + e ,
∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂x ∂y
F = f,
G = g.
容易证明
³∂φ∂ψ∂φ∂ψ´2¡ ¢
B2 − AC = − b2 − ac (>)
∂x ∂y ∂y ∂x
¯ ¯
¯ ∂(ξ, η) ¯2 ¡ ¢
= ¯ ¯ b2 − ac .
¯∂(x, y)¯
为了书写简便起见,令
³ ∂u ∂u´ ∂u ∂u
Φξ, η, u, , ≡ D + E + F u + G,
∂ξ∂η∂ξ∂η
则方程(#)变为
∂2u ∂2u ∂2u ³ ∂u ∂u´
A + 2B + C + Φξ, η, u, , = 0. (##)
∂ξ2 ∂ξ∂η∂η2 ∂ξ∂η
这样,我们就希望,通过适当选择变换,使得A, B, C中有一个或几个为0,达到使方程简化的
目的.
为此,要介绍一个定理.
定定定理理理如果φ(x, y) = C是方程
¡ ¢ ¡ ¢
a dy 2 − 2bdydx + c