线代第一章（2）.ppt

文档介绍：五. 行列式按行(列)展开
对于三阶行列式,容易验证:
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
问题:一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式
来计算?
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定义1:
在 n 阶行列式中,把元素
所在的第 i 行和
第 j 列划去后,余下的 n-1 阶行列式叫做元素
的
余子式。
记为
称
为元素
的代数余子式。
例如:
2
注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
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行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应
的代数余子式乘积之和,即
定理1:
证明:
(先特殊,再一般)
分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理。
(1)
假定行列式D的第一行除
外都是 0 。
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由行列式定义,D 中仅含下面形式的项
其中
恰是
的一般项。
所以,
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(2)
设 D 的第 i 行除了
外都是 0 。
把D转化为(1)的情形
把 D 的第
行依次与第
行,第
行,······,
第2行,第1行交换;再将第
列依次与第
列,
第
列,······,
第2列,第1列交换,这样共经过
次交换行与交换列的步骤。
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由性质2,行列式互换两行(列)行列式变号,
得,
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(3)
一般情形
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例如,行列式
按第一行展开,得
证毕。
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行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零,即
定理2:
证明:
由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们
代数余子式的乘积之和。
在
中,如果令第 i 行的元素等于
另外一行,譬如第 k 行的元素
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