线代第三章（4）.ppt

文档介绍：五. 内积、正交化、正交矩阵.
、长度、夹角。
、单位化法。
。
1. 向量的内积、长度、夹角
定义1:n维实向量
称
为向量与的内积。
若为行向量,则
1
向量内积的性质:
线性性
对称性
等号成立当且仅当
正定性
定义2:实数
称为向量的长度(或模,或范数)
若
称为单位向量。
2
把向量单位化:
若
则
考虑
即
的模为1,为单位向量,称为把单位化。
向量长度的性质:
(1)非负性:
当时,
当时,
(2)齐次性:
(3)柯西—施瓦兹不等式:
(4)三角不等式:
3
非零向量和的夹角余弦:
定义3:非零向量
的夹角是
注: (1)零向量与任何向量都正交。
(2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间。
当向量
的内积为零时,即
时,
即
时,称向量
正交。
定义4:
4
2. Schmidt正交化、单位化法。
定义5:
正交向两组:非零实向量
两两正交。
正交单位向量组:
(标准正交向量组)
非零实向量
两两正交,
且每个向量长度全为1。
即
定理:正交向量组是线性无关的。
schmidt正交化、单位化法:
例:
5
3. 正交矩阵
定义6:
A是一个n阶实矩阵,若
则称A为正交矩阵。
定理:设A、B都是n阶正交矩阵,则
或
也是正交矩阵。
也是正交矩阵。
6
定理:n阶实矩阵A是正交矩阵
A的列(行)向量组为单位正交向量组。
证明:设
将A按列分块,设
A是正交矩阵
7
即
即A的列向量组是单位正交向量组。
注:n个n维向量,若长度为1,且两两正交,责备以它们为列
(行) 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
练习:书p105
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