文档介绍：第三章习题课
一. 向量组的线性相关性
二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法
三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
四. 正交化与正交矩阵
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一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算:加法、数乘。
把向量理解为列矩阵或行矩阵时,事实上就是矩阵的加法
和数乘。
注意: (1)同维向量做加减。
(2)零向量参与运算时,维数与其它向量维数相同。
2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量可由向量组线性表示的常用方法
方法1:
只要证出
就可得出
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方法2:
证下列线性方程组有解
其中
方法3:
利用矩阵的初等行变换
行最简形矩阵
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(2) 在判断或证明中,常用到的两个重要结论
结论1:
向量可由向量组线性表示
结论2:
若向量组
线性无关,
而向量组
线性相关,
则向量必能由向量组线性表示,
且表示式唯一。
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(2) 利用常用结论:
1个零向量线性相关;一个非零向量线性无关。
2个非零向量线性相关
对应分量成比例
n+1个n维向量线性相关。
部分相关整体相关;整体无关部分无关。
3. 线性相关性的判别方法
(1) 一般方法:设数
使得
成立
转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。
原向量组无关,维数增加后得到的新向量组依然无关;
原向量组相关,维数减少后得到的新向量组依然相关。
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(3) 利用向量组的秩判断:
设向量组
的秩为
当时, 线性无关。
当时, 线性相关;
4. 极大无关组的选取或证明
(1) 初等变换法(最常用)
将列向量组写成矩阵
初等行变换
行阶梯或行最简形矩阵
的一个极大无关组,
例如:求向量组
并把其余向量用该极大无关组线性表示。
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解:
是一个极大无关组
并且
考虑:还有那些极大无关组?
初等行变换
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(2) 极大无关组的证明
方法1:利用定义
线性无关;
其它向量都可由
线性表示。
(即向量组中任意r+1个向量都线性相关)
方法2:已知
是向量组A的一个极大无关组,
又A中部分组
与
等价,
则
也是A的一个极大无关组。
例如:设
是向量组A的极大无关组,且
证明也是A的极大无关组。
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证明: (往证与等价)
向量组可由向量组线性表示。
又
向量组可由向量组线性表示。
两个向量组等价
也是极大无关组。
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二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法
初等变换后,看非零行的行数。
三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
关于向量组的秩的两个重要定理:
(1)若向量组
可以由向量组
线性表示,则
(2)若向量组可以由向量组
线性表示,并且
线性无关,那么
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