文档介绍：四. 矩阵的秩
、列秩、矩阵的秩

1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这些行向量组成,
把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些列向量组成。
定义1:矩阵的行向量的秩,就称为矩阵的行秩;
矩阵的列向量的秩,就称为矩阵的列秩。
例如:矩阵
的行向量组是
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可以证明,
是A的行向量组的一个极大无关组,
因为,由
即
可知
即
线性无关;
而
为零向量,包含零向量的向量组线性无关,
线性相关。
所以向量组
的秩为3,
所以矩阵A的行秩为3。
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矩阵A的列向量组是
可以验证
线性无关,
而
所以向量组
的一个极大无关组是
所以向量组
的秩是3,
所以矩阵A的列秩是3。
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问题:矩阵的行秩= 矩阵的列秩
引理1:矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
(列) (列)
证:把
按行分块,设
(1)对换矩阵A的两行
A的行向量组所含向量未变,所以向量组的秩不变,
所以矩阵A的行秩不变。
(2)用非零常数k乘以A的第i行
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显然,向量组
可以由向量组
线性表示;
而向量组
也可以由向量组
线性表示。
所以矩阵
的行向量组与
的行向量组等价,
又等价的向量组有相同的秩,
的行秩=
的行秩,
即A的行秩不变。
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(3)非零常数k乘以第i行后加到第j行上
显然,
中的行向量组
可以由
的行向量组线性表示
而
的行向量组可以由
中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变,
所以矩阵的行秩不变。
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引理2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
(列) (行)
证:设矩阵A经过初等行变换变为B,
即存在有限个初等矩阵
使得
令
则
把
按列分块,设
不妨设A的列向量组的极大无关组为
(可交换列的次序把它们换到前r列,矩阵的秩不变)
则
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下面证明A的列向量组的极大无关组
经过初等行变换变为
是矩阵B的列向量组的极大无关组。
(1)先证
线性无关。
设数
使得
成立
因为P为初等矩阵的乘积,所以P可逆。
又
线性无关
线性无关。
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(2)再证B的列向量组中任一向量
可由向量组
线性表示。
是A的列向量组的极大无关组
所以对于A中任一列向量
都存在数
使得
等号两边左乘P
有
由(1)(2)可知
是B的列向量组的一个极大
无关组。
所以,B的列秩=r=A的列秩
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综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理:矩阵的行秩=矩阵的列秩
证:任何矩阵A都可经过初等变换变为
形式,
而它的行秩为r,列秩也为r。
又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,
所以,A的行秩=r=A的列秩
定义2:矩阵的行秩=矩阵的列秩,统称为矩阵的秩。
记为r(A),或rankA,或秩A。
推论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
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